1) Из того, что ВД - медиана, - равенство площадей треугольников АВД и СВД. 2) Из равенства площадей - равенство сторон АВ и ВС. 3) Из равенства сторон - ВД - не только медиана треугольника АВС, но и биссектриса (угол АВД = углу СВД) и высота (ВД перпендикулярна АС). 4) Из перпендикулярности ВД к АС треугольник АВД - прямоугольный. 5) Из отношения 1:2 катета ВД к гипотенузе АВ - угол А=30 градусов. 6) Из суммы углов треугольника = 180 градусов - угол АВД = 60 градусов. 7) Из 3) угол СВД = 60 градусов. 8) Найти угол FВС. 9) Сравнить угол FВС с углом СВД. 10) Сделать вывод.
Решение Через вершину B проведем прямую, параллельную AC, продлим медиану AА₁ до пересечения с этой прямой в точке T. Из равенства треугольников А₁BT и A А₁C (по стороне и двум прилежащим углам: B А₁ = А₁C, т. к. A А₁ — медиана, ∠B А₁T = ∠A А₁C — вертикальные, ∠ А₁BT = ∠ А₁CA — накрест лежащие при параллельных прямых AC, BT и секущей BC) следует, что BT = AC и A А₁ = KT. Из подобия треугольников AML и MBT (по двум углам: ∠MAL = ∠BTА₁, ∠ALB = ∠LBT — накрест лежащие при параллельных прямых AC, BT и секущих BL, AT) следует, что AL : BT = AL : AC = AM : MT. Так как АА₁ = А₁T, то AM : MT = 1 : 7. Тогда AL : AC = 1 : 7, а AL : LC = 1 : 6.
2) Из равенства площадей - равенство сторон АВ и ВС.
3) Из равенства сторон - ВД - не только медиана треугольника АВС, но и биссектриса (угол АВД = углу СВД) и высота (ВД перпендикулярна АС).
4) Из перпендикулярности ВД к АС треугольник АВД - прямоугольный.
5) Из отношения 1:2 катета ВД к гипотенузе АВ - угол А=30 градусов.
6) Из суммы углов треугольника = 180 градусов - угол АВД = 60 градусов.
7) Из 3) угол СВД = 60 градусов.
8) Найти угол FВС.
9) Сравнить угол FВС с углом СВД.
10) Сделать вывод.
Решение
Через вершину B проведем прямую, параллельную AC, продлим медиану AА₁ до пересечения с этой прямой в точке T.
Из равенства треугольников А₁BT и A А₁C (по стороне и двум прилежащим углам: B А₁ = А₁C, т. к. A А₁ — медиана,
∠B А₁T = ∠A А₁C — вертикальные, ∠ А₁BT = ∠ А₁CA — накрест лежащие при параллельных прямых AC, BT и секущей BC) следует, что BT = AC и A А₁ = KT. Из подобия треугольников
AML и MBT (по двум углам: ∠MAL = ∠BTА₁,
∠ALB = ∠LBT — накрест лежащие при параллельных
прямых AC, BT и секущих BL, AT) следует,
что AL : BT = AL : AC = AM : MT. Так как АА₁ = А₁T,
то AM : MT = 1 : 7.
Тогда AL : AC = 1 : 7, а AL : LC = 1 : 6.
решение во вкладыше