Ветви параболы y = x^2 - x - 6 направлены вверх, следовательно функция y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3 при x < -2 или x > 3 возрастает при -2 < x < 3 убывает
Найдём значения функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x при x = -2 и x = 3 Если x = -2, то y = -16 - 12 + 72 = 44 Если x = 3, то y = 54 - 27 - 108 = -81
=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 будет касаться оси абсцисс в точке x = -2; пересечёт ось абсцисс в точке x > 3 Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 = 0 будет иметь 2 действительных корня. => график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 будет касаться оси абсцисс в точке x = 3; пересечёт ось абсцисс в точке x < -2 Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 = 0 будет иметь 2 действительных корня.
В первом случае a - 3 = -44 => a1 = -41 Во втором случае a - 3 = 81 => a2 = 84
В итоге получается, что в уравнении 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3 = 0 при a = -41 или a = 84 будут 2 действительных корня
2) y=26 x-? 2x²-13x+26=26 2x²-13x=0 2x(x-6,5)=0 x=0 или х-6,5=0 х=6,5 Итак, у=26 при х=0 или при х=6,5
3) y`(x)=(2x²-13x+26)`=2*2x-13=4x-13 y`(x)=0 при 4x-13=0 4(x-3,25)=0 - + 3,25 min y(3,25)=2*(3,25)²-13*3,25+26=21,125-42,25+26=4,875 - наименьшее
***Примечание: Этот же пункт можно сделать проще, без применения производной. Графиком функции y=2x²-13x+26 является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а=2 >0, поэтому наибольшего значения функции не существует, а наименьшее значение функция принимает в ординате своей вершины.
4) Находим точки пересечения функции с осью Ох: 2x²-13x+26=0 D=(-13)²-4*2*26=169-208=-39 <0 => точек пересечения с осью Ох не существует Находим точку пересечения с осью Оу: x=0 y(0)=2*0²-13*0+26=26 (0;26) - искомая точка
y' = 6x^2 - 6x - 36
Приравняем к нулю и поделим на 6
x^2 - x - 6 = 0
Находим корни этого уравнения с теоремы Виета:
x1 + x2 = 1
x1 * x2 = -6
=> x1 = 3; x2 = -2
Ветви параболы y = x^2 - x - 6 направлены вверх, следовательно
функция y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3
при x < -2 или x > 3 возрастает
при -2 < x < 3 убывает
Найдём значения функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x
при x = -2 и x = 3
Если x = -2, то y = -16 - 12 + 72 = 44
Если x = 3, то y = 54 - 27 - 108 = -81
=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 будет касаться оси абсцисс в точке x = -2;
пересечёт ось абсцисс в точке x > 3
Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 = 0 будет иметь 2 действительных корня.
=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 будет касаться оси абсцисс в точке x = 3;
пересечёт ось абсцисс в точке x < -2
Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 = 0 будет иметь 2 действительных корня.
В первом случае a - 3 = -44 => a1 = -41
Во втором случае a - 3 = 81 => a2 = 84
В итоге получается, что в уравнении 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3 = 0 при a = -41 или a = 84 будут 2 действительных корня
1) y(-3)=2(-3)²-13(-3)+26=2*9+39+26=18+65=83
2) y=26 x-?
2x²-13x+26=26
2x²-13x=0
2x(x-6,5)=0
x=0 или х-6,5=0
х=6,5
Итак, у=26 при х=0 или при х=6,5
3) y`(x)=(2x²-13x+26)`=2*2x-13=4x-13
y`(x)=0 при 4x-13=0
4(x-3,25)=0
- +
3,25
min
y(3,25)=2*(3,25)²-13*3,25+26=21,125-42,25+26=4,875 - наименьшее
***Примечание: Этот же пункт можно сделать проще, без применения производной.
Графиком функции y=2x²-13x+26 является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а=2 >0, поэтому наибольшего значения функции не существует, а наименьшее значение функция принимает в ординате своей вершины.
х(в)= -(-13)/(2*2)=13/4=3,25
у(3,25)=4,875 - наименьшее
4) Находим точки пересечения функции с осью Ох:
2x²-13x+26=0
D=(-13)²-4*2*26=169-208=-39 <0 => точек пересечения с осью Ох не существует
Находим точку пересечения с осью Оу:
x=0 y(0)=2*0²-13*0+26=26
(0;26) - искомая точка