Обозначим длину стадиона символом S. По условию задачи можно считать, что изначально трое бегунов стартовали из одной точки.
2. Заметим, что бегуны, двигающиеся в противоположных направлениях, встречаются в определённый момент времени тогда и только тогда, когда к этому времени они суммарно пробежали расстояние, кратное S.
Действительно, в первый момент встречи после старта бегуны суммарно пробегут два отрезка пути, сумма длин которых составит длину стадиона S. После этого до второй встречи эти два бегуна пробегут ещё два отрезка пути, сумма длин которых составит S, а значит, от момента старта до момента второй встречи они пробегут суммарно 2S. И так далее, на n-ый момент встречи они суммарно пробегут расстояние, равное nS.
3. Условимся называть бегуна, пробегающего полный круг стадиона за время 7 мин первым, пробегающего полный круг стадиона за время 3 мин вторым, и, наконец, пробегающего полный круг за 4 мин третьим. Заметим, что три бегуна встретятся в один и тот же момент тогда и только тогда, когда к этому моменту времени встретились первый и третий бегуны и второй и третий бегуны.
4. Пусть время t — искомое время встречи. Тогда, так как первый и третий бегуны встретились через время t, получаем:
S7⋅t+S4⋅t=nS, где n — натуральное.
Аналогично, так как через время t встретились второй и третий бегуны, получаем:
S3⋅t+S4⋅t=mS, где m — натуральное.
5. Из полученных уравнений находим:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=n17+14,t=m13+14.
Исключая переменную t, получим:
nm=17+1413+14=(7+4)⋅3(3+4)⋅7=3349.
Так как числа 33 и 49 взаимно просты, получаем, что n и m имеют вид:
n=33⋅k,
m=49⋅k,
где k — произвольное натуральное число.
6. Таким образом, для момента встречи t мы получаем следующую формулу:
t=n17+14=(7+4)⋅3⋅k17+14=7⋅3⋅4⋅k,
где параметр k соответствует номеру встречи.
7. Выбирая k=1, получаем, что ближайшая встреча произойдёт через t=84 мин.
1. Раскрасим основание A1A2...A8 в один из 10 цветов. Такую раскраску можно осуществить
2. Раскрасим теперь по очереди боковые грани пирамиды. Для первой грани SA1A2 имеется 10−1=9 вариантов раскраски, для второй грани SA2A3 имеется 10−2=8 вариантов раскраски, и так далее, для 8-й по порядку грани имеется 10−8=2 вариант(-ов, -a) раскраски. Таким образом, всего получаем
M=10(10−1)(10−2)...(10−8)
вариантов раскраски пирамиды.
3. По условию задачи две раскраски считаются одинаковыми, если получаются друг из друга движением. В нашем случае, у пирамиды существует ровно 8 движений (8 поворотов). Потому искомое число раскрасок будет в 8 раз меньше величины M.
ответ: 84 мин.
Объяснение:
Обозначим длину стадиона символом S. По условию задачи можно считать, что изначально трое бегунов стартовали из одной точки.
2. Заметим, что бегуны, двигающиеся в противоположных направлениях, встречаются в определённый момент времени тогда и только тогда, когда к этому времени они суммарно пробежали расстояние, кратное S.
Действительно, в первый момент встречи после старта бегуны суммарно пробегут два отрезка пути, сумма длин которых составит длину стадиона S. После этого до второй встречи эти два бегуна пробегут ещё два отрезка пути, сумма длин которых составит S, а значит, от момента старта до момента второй встречи они пробегут суммарно 2S. И так далее, на n-ый момент встречи они суммарно пробегут расстояние, равное nS.
3. Условимся называть бегуна, пробегающего полный круг стадиона за время 7 мин первым, пробегающего полный круг стадиона за время 3 мин вторым, и, наконец, пробегающего полный круг за 4 мин третьим. Заметим, что три бегуна встретятся в один и тот же момент тогда и только тогда, когда к этому моменту времени встретились первый и третий бегуны и второй и третий бегуны.
4. Пусть время t — искомое время встречи. Тогда, так как первый и третий бегуны встретились через время t, получаем:
S7⋅t+S4⋅t=nS, где n — натуральное.
Аналогично, так как через время t встретились второй и третий бегуны, получаем:
S3⋅t+S4⋅t=mS, где m — натуральное.
5. Из полученных уравнений находим:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=n17+14,t=m13+14.
Исключая переменную t, получим:
nm=17+1413+14=(7+4)⋅3(3+4)⋅7=3349.
Так как числа 33 и 49 взаимно просты, получаем, что n и m имеют вид:
n=33⋅k,
m=49⋅k,
где k — произвольное натуральное число.
6. Таким образом, для момента встречи t мы получаем следующую формулу:
t=n17+14=(7+4)⋅3⋅k17+14=7⋅3⋅4⋅k,
где параметр k соответствует номеру встречи.
7. Выбирая k=1, получаем, что ближайшая встреча произойдёт через t=84 мин.
ответ: 453600
Объяснение:
1. Раскрасим основание A1A2...A8 в один из 10 цветов. Такую раскраску можно осуществить
2. Раскрасим теперь по очереди боковые грани пирамиды. Для первой грани SA1A2 имеется 10−1=9 вариантов раскраски, для второй грани SA2A3 имеется 10−2=8 вариантов раскраски, и так далее, для 8-й по порядку грани имеется 10−8=2 вариант(-ов, -a) раскраски. Таким образом, всего получаем
M=10(10−1)(10−2)...(10−8)
вариантов раскраски пирамиды.
3. По условию задачи две раскраски считаются одинаковыми, если получаются друг из друга движением. В нашем случае, у пирамиды существует ровно 8 движений (8 поворотов). Потому искомое число раскрасок будет в 8 раз меньше величины M.
Получаем ответ:
10(10−1)(10−2)...(10−8)8=453600.