Войти Регистрация Спроси ai-bota

вычислить сумму членов ряда.

Показать ответ

Ответ:

arina121212

14.10.2020 07:48

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$

Здесь -й член ряда $u_{n} = \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$ является правильной рациональной дробью относительно . Разложим $u_{n}$ на сумму простейших дробей:

$\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{A}{n^{2}} + \dfrac{B}{n}+ \dfrac{C}{(n + 1)^{2}} + \dfrac{D}{n + 1}$

$2n + 1 = A(n + 1)^{2} + Bn(n + 1)^{2} + Cn^{2} + Dn^{2}(n + 1)$

Если n = 0 , то A = 1

Если n = -1 , то $2 \cdot (-1) + 1 = C \Rightarrow C = -1$

Коэффициенты около $n^{1}: \ 2 = 2A + B; \ B = 2 - 2A = 2 - 2 = 0$

Коэффициенты около $n^{3}: \ 0 = B + D; \ D = -B = 0$

Итог: $\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

Поэтому $S_{n} = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{5}{4 \cdot 9} + ... + \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} =$

$= \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} \right) + ... + \left(\dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \right) = 1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}\right) = 1$

Следовательно, $\displaystyle \exists \lim_{n \to \infty} S_{n}$ , ряд сходится, а сумма ряда $S = \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = 1$

ответ: 1.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Coolgirl03

03.07.2022 12:36

Решите неравенства : а)x^2-8x+15 0; б)3x^2+11x-4 0; в)x^2-9 0...

АннаФайна

29.10.2021 05:36

Сколькими из колоды карт 36 штук можно выбрать 3 карты одной масти, но разного достоинства....

Учительнотупой

04.02.2021 12:42

Два перпендикулярных отрезка km и ln пересекаются в общей серединной точке p и образуют два равных треугольника kpn и mpl. расстояние между точками k и l равно 49,1 см. какое расстояние...

svetlana485

12.08.2022 12:18

Из пункта а, расположенного на кольцевой дороге, выезжают одновременно в одном и том же направлении велосипедист и мотоциклист. пока велосипедист один круг, мотоциклист три полных...

BrainSto

07.01.2022 09:58

Які з виразів є квадратними тричленами а) x^2+7б) 8х+10в) х^2-х+0,87г) х^3+3хд) 0,5х^2-10х+х^4е) 0,5х^2+4х...

mybrainishere11

03.04.2022 03:33

Какое из числе является иррациональным? 4,828228222 ...

korol095

05.02.2020 09:26

не понимаю как делать...

maks380i

20.05.2022 17:51

Смог ли Дарий 1 полностью подчинить саков...

ADAMREUS

19.12.2020 00:41

Послушайте текст и запишите только глаголы, разделив их на группы: а) в форме настоящего времени; б) в форме...

AnnaSind

19.12.2020 00:41

Определите лицо и число данных глаголов в изъявительном наклонении. какая морфема в слове выражает это значение? Как не изменяя...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку