A) Находим делители числа 30. Это числа (со знаком плюс-минус) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30. Ищем среди них хотя бы одно, которое является корнем уравнения х^3 - 4x^2 - 11x +30 = 0. Находим, что корнем уравнения является число 2. Значит многочлен х^3 - 4x^2 - 11x +30 должен делиться на многочлен х-2. Делим х^3 - 4x^2 - 11x +30 на х-2 в столбик и получаем разложение на множители: х^3 - 4x^2 - 11x +30 = (x-2)(x^2-2x-15) Решаем уравнение (x-2)(x^2-2x-15) = 0 x-2 = 0 ⇒x = 2 x^2-2x-15=0 ⇒x = 5; x = -3
б) По аналогичной схеме, предварительно вынести х за скобки и получить уравнение x(x^3 - 13x -12) = 0 Рассматриваем скобку-уравнение х^3 - 13x -12 = 0 Ищем делители числа 12 и среди них находим корень этого кубического уравнения х = -1. Делим многочлен х^3 - 13x -12 на х+1. Получаем разложение: х^3 - 13x -12 = (x+1)(x^2-x-12). В итоге, начальное уравнение раскладывается на множители: х(x+1)(x^2-x-12) = 0 Находим четыре корня: х = 0; х = -1; х = 3; х = -4
в) Схема та же. Найти делители числа 6 и среди них корень уравнения. Это число -2. Делим x^3 - 2x^2 - 5x + 6 на х+2. Получаем разложение: (х+2)(x^2-4x+3)=0 Корни уравнения: х = -2; х = 3; х = 1
На первое место можно разместить любую из пяти цифр, пять На второе место можно разместить любую из четырех цифр, четыре На третье место любую из оставшихся трех цифр, три На все три места результаты выбора умножаем.
5·4·3=60
а) кратны трем те числа, у которых сумма цифр кратна трем
Например, используя цифры 1; 2; 3, сумма цифр которых 1+2=3=6 кратна 3 можно составит шесть чисел, кратных 3:
123; 132;321;312;231;213
Возможностей 4:
1+2+3=6 кратно 3
2+3+4= 9 кратно 3
3+4+5=12 кратно 3
1+3+5=9 кратно 3
В каждой возможности 6 чисел. Всего 24 числа.
б) Кратны четырем те трехзначные числа, у которых две последние цифры кратны 4. Возможны варианты:
*12
*24
*32
*52
На первое место можно разместить любую из оставшихся трех цифр, тремя Всего 3·4=12 чисел
в) кратных 5:
12:
на последнем месте обязательно располагается цифра 5 ( числа кратные 5 оканчиваются на 5 или на 0, 0 у нас нет). На первое место можно выбрать любую из четырех оставшихся цифр - четыре на второе место любую из оставшихся трех - три Всего Подробнее - на -
Ищем среди них хотя бы одно, которое является корнем уравнения х^3 - 4x^2 - 11x +30 = 0.
Находим, что корнем уравнения является число 2. Значит многочлен х^3 - 4x^2 - 11x +30 должен делиться на многочлен х-2.
Делим х^3 - 4x^2 - 11x +30 на х-2 в столбик и получаем разложение на множители:
х^3 - 4x^2 - 11x +30 = (x-2)(x^2-2x-15)
Решаем уравнение (x-2)(x^2-2x-15) = 0
x-2 = 0 ⇒x = 2
x^2-2x-15=0 ⇒x = 5; x = -3
б) По аналогичной схеме, предварительно вынести х за скобки и получить уравнение
x(x^3 - 13x -12) = 0
Рассматриваем скобку-уравнение х^3 - 13x -12 = 0
Ищем делители числа 12 и среди них находим корень этого кубического уравнения х = -1.
Делим многочлен х^3 - 13x -12 на х+1. Получаем разложение:
х^3 - 13x -12 = (x+1)(x^2-x-12). В итоге, начальное уравнение раскладывается на множители:
х(x+1)(x^2-x-12) = 0
Находим четыре корня: х = 0; х = -1; х = 3; х = -4
в) Схема та же. Найти делители числа 6 и среди них корень уравнения. Это число -2.
Делим x^3 - 2x^2 - 5x + 6 на х+2. Получаем разложение:
(х+2)(x^2-4x+3)=0
Корни уравнения: х = -2; х = 3; х = 1
Всего 60 трехзначных чисел
На первое место можно разместить любую из пяти цифр, пять На второе место можно разместить любую из четырех цифр, четыре На третье место любую из оставшихся трех цифр, три На все три места результаты выбора умножаем.
5·4·3=60
а) кратны трем те числа, у которых сумма цифр кратна трем
Например, используя цифры 1; 2; 3, сумма цифр которых 1+2=3=6 кратна 3 можно составит шесть чисел, кратных 3:
123; 132;321;312;231;213
Возможностей 4:
1+2+3=6 кратно 3
2+3+4= 9 кратно 3
3+4+5=12 кратно 3
1+3+5=9 кратно 3
В каждой возможности 6 чисел. Всего 24 числа.
б) Кратны четырем те трехзначные числа, у которых две последние цифры кратны 4. Возможны варианты:
*12
*24
*32
*52
На первое место можно разместить любую из оставшихся трех цифр, тремя Всего 3·4=12 чисел
в) кратных 5:
12:
на последнем месте обязательно располагается цифра 5 ( числа кратные 5 оканчиваются на 5 или на 0, 0 у нас нет). На первое место можно выбрать любую из четырех оставшихся цифр - четыре на второе место любую из оставшихся трех - три Всего Подробнее - на -