В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
wolfe8
wolfe8
27.10.2022 13:39 •  Алгебра

X²+px+2=0, sin²pi*p+ sin²pi*x+2^|y|=|sinpi*x/2|. при каких p система имеет решения?​

Показать ответ
Ответ:
pdv20
pdv20
04.04.2021 00:02

±3

Объяснение:

Рассмотрим второе уравнение.

\sin^2 {\pi p}\geq 0,\ \sin^2 {\pi x}\geq 0, 2^{|y|}\geq 2^0 = 1\Rightarrow\\\Rightarrow \sin^2 {\pi p}+\sin^2 {\pi x}+2^{|y|} \geq 0+0+1=1

|\sin{\dfrac{\pi x}{2}}|\leq 1

Левая часть не меньше 1, правая — не больше 1, значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда когда обе части равны 1. При этом левая часть равна 1 только тогда, когда первые два слагаемых — 0, а второе — 1.

\begin{cases}\sin^2{\pi p}=0, \\ \sin^2{\pi x}=0, \\ 2^{|y|} = 1, \\ |\sin{\dfrac{\pi x}{2}}|=1 \end{cases} \begin{cases}\pi p=\pi k, k\in\mathbb{Z}, \\ \pi x=\pi m, m\in\mathbb{Z}, \\ y=0, \\ \dfrac{\pi x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{cases} \begin{cases}p\in\mathbb{Z}, \\ x\in\mathbb{Z}, \\ y=0, \\ x= 1+2 n, n\in\mathbb{Z} \end{cases}

Из этого следует, что решениями системы могут быть пары вида (x, 0), где x — нечётное целое число, а параметр p — целое число.

Рассмотрим первое уравнение:

D=p^2-8

Необходимое условие для целочисленности x — дискриминант должен быть квадратом целого числа (достаточно, чтобы это число было неотрицательным), иначе корень будет иррациональным.

p^2-8=n^2, n\in\mathbb{Z}, n\geq 0\\p^2-n^2=8\\(p-n)(p+n)=8

Так как n ≥ 0, p-n\leq p+n.

Представим 8 в виде произведения двух множителей: 8 = 1 * 8 = 2 * 4 = (-8) * (-1) = (-4) * (-2). Числа p - n и p + n имеют одинаковую чётность, поэтому варианты p - n = 1, p + n = 8; p - n = -8, p + n = -1 не подходят. Остаётся два варианта:

\left \{ {{p-n=2} \atop {p+n=4}} \right. \Rightarrow p = 3, n = 1\\\left \{ {{p-n=-4} \atop {p+n=-2}} \right. \Rightarrow p = -3, n = 1

Проверим данные p:

x^2+3x+2=0 \Leftrightarrow (x+2)(x+1)=0 \Leftrightarrow x=-2; -1

Есть нечётное решение x = -1.

x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow x=1; 2

Есть нечётное решение x = 1.

Значит, подходят p = ±3.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота