Юрий Васильевич задумал странную вещь, он хочет числа от 1 до 2024 разбить на пары, причём ровно в половине пар
числа должны отличаться на 2, а в другой половине на 3.
Справится ли Ю.В. или это сделать невозможно? С ДОКАЗАтЕЛЬСтВОМ

1)
a) 25 - 36p²c² = 5²  - (6pc)²  = (5 - 6pc)(5+6pc)
б) 100a⁴b²c² - 121 = (10a²bc)²  - 11² = (10a²bc - 11)(10a²bc +11)
2)
а) (3x+1)² - (4x+3)² = (3x+1 -(4x+3))(3x+1+4x+3) = 
= (3x+ 1 - 4x - 3)(7x + 4) = (-x - 2)(7x+4) =
=  -(x+2)(7x+4)

б) (а+b+c)²  - (a -b -c)² = (a+b+c -(a-b-c) ) * (a+b+c +a-b-c) =
= (a+b+c -a+b+c) * 2a = (2b + 2c) * 2a  = 2(b+c) * 2a =
= 4a(b+c)

3)
a) x²ⁿ -  9  = (xⁿ)²  - 3²  = (xⁿ - 3)(xⁿ  + 3)
б) k²  - a⁴ⁿ  = k²  - (a²ⁿ)² = (k - a²ⁿ)(k + a²ⁿ)
в) х²ⁿ  - у²ⁿ = (хⁿ -уⁿ)(хⁿ +уⁿ) 
г)81а⁴ⁿ - 1  = (9а²ⁿ)²  -  1²  = (9а²ⁿ - 1)(9а²ⁿ + 1) =
= ( (3аⁿ)²  - 1²)(9а²ⁿ + 1) = (3аⁿ -1)(3аⁿ +1)(9а²ⁿ  + 1)

4) 
а)  2а(5а + 10)   + (2а - 8)(3а+2) =
= 10а²  + 20а   + 6а² + 4а  - 24а - 16 =
= 16а²   - 16  =  16(а² - 1) =
= 16(а-1)(а+1)
б)(3х + 5)(4х - 5)   - 2х(2,5  + 1,5х) =
= 12х² - 15х  + 20х  - 25  - 5х  -  3х² = 
= 9х²   - 25  = (3x)²  - 5² = 
=  (3x - 5)(3x+5)

a = 563/51

Объяснение:

|9x + 7a - 3| = |4x + 3a + 4|

Здесь не нужна никакая разность квадратов.

Возможно всего два варианта:

1) 9x + 7a - 3 = -4x - 3a - 4

13x + 10a + 1 = 0

x1 = (-10a - 1)/13

2) 9x + 7a - 3 = 4x + 3a + 4

5x + 4a - 7 = 0

x2 = (-4a + 7)/5

Нам надо, чтобы эти корни были разными. Найдем, при каком а они одинаковы.

(-10a - 1)/13 = (-4a + 7)/5

5(-10a - 1) = 13(-4a + 7)

-50a - 5 = -52a + 91

-50a + 52a = 91 + 5

2a = 96

a = 48

Значит, а не должно быть равно 48.

И нам надо, чтобы среднее арифметическое этих корней было -8.

(x1 + x2)/2 = -8

x1 + x2 = -16

(-10a - 1)/13 + (-4a + 7)/5 = -16

5(-10a - 1) + 13(-4a + 7) = -16*13*5

-50a - 5 - 52a + 91 = -1040

-102a = -1040 + 5 - 91 = -1126

a = -1126/(-102) = 1126/102 = 563/51

Оно не равно 48, значит, это решение.