За 3 год за течією і 4 год проти течії катер проплив 174км. За 4 год за течією і 5 год проти течії він проплив 224км. Знайти швидкість катера за течією і проти течії.

А) 2sinx-sqrt{3}=0 <=> 2sinx=sqrt{3} | :2 (доделим на 2) <=> sinx=sqrt{3}/2 <=> x=(-1)^k*arcsin{3}/2+pi*k, k£z <=> x=(-1)^k*pi/3+pi*k, k£Z. б) ctgx/3-1=0 <+> ctgx/3=1 <=> x/3=arcctg1+pi*k, k£Z <=> x/3=pi/4+pi*k |•3 (домножили на 3) <=> х=3pi/4+3pi*k, k£Z. в) cos(2x-pi/3)=-1 <=> 2x-pi/3=pi+2pi*k, k£Z <=> 2x=pi/3+pi+2pi*k <=> 2x=4pi/3+2pi*k | : 2 <=> x=2pi/3+pi*k, k£Z. г) sqrt{3}tg2x+3=0 <=> sqrt{3}2x=-3 | : sqrt{3} (доделили на sqrt{3}) <=> tg2x=-3/sqrt{3}=-sqrt{3} (избавились от иррациональности домножив числитель и знаменатель на sqrt{3}); tg2x=-sqrt{3} <=> 2x=arctg-sqrt{3}+pi*k, k£z <=> 2x=-arctg sqrt{3}+pi*k <=> 2x=-pi/3+pi*k | : 2 <=> x=-pi/6+pi*k/2, k£Z. И так, проверяем углы, нарисовав единичную окружность. Подставляем значения относительно k в промежутке [pi/3; 3pi/2]: 1) при k=0: -pi/6+0=-pi/6 - не подходит; 2) при k=1: -pi/6+pi/2=2pi/6=pi/3 - подходит; Далее мы будем писать только положительные значения k, так как у нас промежуток положительных углов; 3) при k=2: -pi/6+pi=5pi/6=150° - подходит; 4) при k=3; -pi/6+3pi/2=8pi/6=4pi/3=240° - подходит. И, кстати, угол 240° равен углу 60° то есть для тангенса tg240°=tg(180°+60°)=tg60°. Ты потом увидишь зачем нам это. 5) при k=4: -pi/6+12pi/6=11pi/6=330° - не подходит. И так, что у нас вышло. Мы облучили три угла. Но мы знаем, что углы в положительных четвертях для тангенса - одинаковы. То есть если у нас есть какие-то углы в первой или третей четвертях, то мы в ответ ещё и записываем симметричные им в другой положительной четверти, но тут у нас из трёх имеющихся есть два угла в положительных четвертях, и мы узнали, что они одинаковы, значит у нас нету дополнительных углов для них, они и есть противоположные. ответ можно записать несколькими х=-pi/6+pi*k/2, k£Z. Но нам нужны углы в промежутке [pi/3; 3pi/2], то есть {pi/3+pi*k; 5pi/6+2pi*k} - эти углы лежат в промежутке [pi/3; 3pi/2], и их три. ответ: три.

P(ABCD)=20(см);
S(ABCD)=24(см^2);
Пусть меньшая сторона - а, большая - b.
Имеем:
P(ABCD)=2a+2b;
S(ABCD)=a*b;
То есть
2a+2b=20
a*b=24.
Для удобства и понимания обозначим а - х, b - y.
Решаем полученную систему уравнений

{2x+2y=20, | : 2
x*y=24;
{х+у=10 (доделили на 2);
ху=24;
Из первого уравнения имеем: х+у=10 <=> у=10-х. Подставляем значение у во второе уравнение.
Получим:
х*у=24 <=> х*(10-х)=24 <=> 10х-х^2=24 <=> -х^2+10х-24=0 | * (-1) (домножили на -1) <=> х^2-10х+24=0; D=(-10)^2-4*24=100-96=4;
х1,2=10+-2/2;
х1=6
х2=4.
Отсюда: 1) х+у=10 <=> 6+у=10 <=> у=4;
2) х+у=10 <=> 4+у=10 <=> у=6.
Возвращаемся к сторонам: а=х=6; а=4;
b=6; b=4.
Итак у нас есть две стороны: 6 см. и 4 см. (либо большая 6, либо наоборот, неважно).
ответ: 6 и 4.