В общем виде такие системы решать - сплошное неудовольствие, так как результатом является общее уравнение 4 степени, которе школьными методами не решается, лучше всего численно.
ОДНАКО, для школьников такие системы составители предлагают с определёнными упрощениями, "изюминками", которые школьники должны увидеть, обнаружить, то есть проявить свои творческие наклонности и знание предметной области. Причём какждая система достаточно индивидуальна и решается своими методами. Посмотрим на эту систему с этой точки зрения.
Видно, что в левой части стоят "поломанные" квадраты суммы, попробуем их выделить.
Уже лучше. Умножим первое уравнение на 2, получим систему
4x^2+2(x+y)^2=36
-3x^2+2(x+y)^2=15
Вычтем из 1 2
7x^2 = 21
x^2 = 3
x=+-sqrt(3)
Вот и всё, осталось найти у, например, из 1 уравнения
(х+y)^2=18-2x^2=18-2*3=12
(x+y)=+-2*sqrt(3)
y=+-2*sqrt(3)-x
Подставляя х, получим 4 решения
(sqrt(3),sqrt(3))
(sqrt(3),-3*sqrt(3))
(-sqrt(3),-sqrt(3))
(-sqrt(3),-sqrt(3))
Вот так просто всё получилось.
Можно было заметить ещё, что решения симметричные, то есть если (х,у) - решение, то (-х,-у) - тоже решение, и, следовательно, можно было найти только 2 разных решения, а остальные 2 получить по этой формуле. И т.д.
НО, повторюсь, каждая система такого типа решается по-своему, и единственный метод научиться их решать примитивен - нужно их решать как можно больше и тогда сразу будет всё видно.
Успехов.
Да, арифметику перепроверь, ну не силён я в арифметике, мог сделать ошибку.
Из условия: " за 5 ч на 40 км больше, чем пассажирский за 6 ч" имеем уравнение:
5m-6k=40
Найдем частное решение этого уравнения
m_1=14 и k_1=5
Теперь имеем:
5m-6k=40 и 5m_1-6k_1=40
Отнимем от первого второе, сгруппируем и вынесем за скобки общий множитель получим:
5(m-m_1)-6(k-k_1)=0
Пусть m-m_1=a и k-k_1=b, тогда
5a-6b=0
5a=6b
a=6n и b=5n
То есть m-m_1=6n и k-k_1=5n. Выразим m и k и подставим вместо m_1 и k_1 значения которые мы нашли получим:
k=5n+5=5(n+1), то есть n+1 делится на 2, тоесть n - нечетное.
и
m=6n+14=2(3n+7), то есть 3n+7 делится на 5. Но так как n - нечетное то 3n - тоже нечетное и 3n+7 четное и значит 3n+7 делится на 10 (так как число делится на 5 если оно заканчивается на 0 или на 5. При 5 число нечетное), Значит число m делится на 20 тоесть она равна 60 или 80(известно, что числа v1 и v2 делятся на 10 и оба меньше 100, но больше 50).Теперь имеем 2(3n+7)=60. значит 3n+7=30, значит 3n=23, n=23/3.Но тогда k не натуральное тоесть не подходит. Теперь 2(3n+7)=80, 3n+7=40, 3n=33, n=11. Это уже подходит. получаем k=60, m=80
В общем виде такие системы решать - сплошное неудовольствие, так как результатом является общее уравнение 4 степени, которе школьными методами не решается, лучше всего численно.
ОДНАКО, для школьников такие системы составители предлагают с определёнными упрощениями, "изюминками", которые школьники должны увидеть, обнаружить, то есть проявить свои творческие наклонности и знание предметной области. Причём какждая система достаточно индивидуальна и решается своими методами. Посмотрим на эту систему с этой точки зрения.
Видно, что в левой части стоят "поломанные" квадраты суммы, попробуем их выделить.
3x^2+2xy+y^2=2x^2+x^2+2xy+y^2=2x^2+(x+y)^2=18
-x^2+4xy+2y^2=-3x^2+2x^2+4xy+2y^2=-3x^2+2(x^2+2xy+y^2)=-3x^2+2(x+y)^2=15
Уже лучше. Умножим первое уравнение на 2, получим систему
4x^2+2(x+y)^2=36
-3x^2+2(x+y)^2=15
Вычтем из 1 2
7x^2 = 21
x^2 = 3
x=+-sqrt(3)
Вот и всё, осталось найти у, например, из 1 уравнения
(х+y)^2=18-2x^2=18-2*3=12
(x+y)=+-2*sqrt(3)
y=+-2*sqrt(3)-x
Подставляя х, получим 4 решения
(sqrt(3),sqrt(3))
(sqrt(3),-3*sqrt(3))
(-sqrt(3),-sqrt(3))
(-sqrt(3),-sqrt(3))
Вот так просто всё получилось.
Можно было заметить ещё, что решения симметричные, то есть если (х,у) - решение, то (-х,-у) - тоже решение, и, следовательно, можно было найти только 2 разных решения, а остальные 2 получить по этой формуле. И т.д.
НО, повторюсь, каждая система такого типа решается по-своему, и единственный метод научиться их решать примитивен - нужно их решать как можно больше и тогда сразу будет всё видно.
Успехов.
Да, арифметику перепроверь, ну не силён я в арифметике, мог сделать ошибку.
Для удобства v1=m, v2=k
Из условия: " за 5 ч на 40 км больше, чем пассажирский за 6 ч" имеем уравнение:
5m-6k=40
Найдем частное решение этого уравнения
m_1=14 и k_1=5
Теперь имеем:
5m-6k=40 и 5m_1-6k_1=40
Отнимем от первого второе, сгруппируем и вынесем за скобки общий множитель получим:
5(m-m_1)-6(k-k_1)=0
Пусть m-m_1=a и k-k_1=b, тогда
5a-6b=0
5a=6b
a=6n и b=5n
То есть m-m_1=6n и k-k_1=5n. Выразим m и k и подставим вместо m_1 и k_1 значения которые мы нашли получим:
k=5n+5=5(n+1), то есть n+1 делится на 2, тоесть n - нечетное.
и
m=6n+14=2(3n+7), то есть 3n+7 делится на 5. Но так как n - нечетное то 3n - тоже нечетное и 3n+7 четное и значит 3n+7 делится на 10 (так как число делится на 5 если оно заканчивается на 0 или на 5. При 5 число нечетное), Значит число m делится на 20 тоесть она равна 60 или 80(известно, что числа v1 и v2 делятся на 10 и оба меньше 100, но больше 50).Теперь имеем 2(3n+7)=60. значит 3n+7=30, значит 3n=23, n=23/3.Но тогда k не натуральное тоесть не подходит. Теперь 2(3n+7)=80, 3n+7=40, 3n=33, n=11. Это уже подходит. получаем k=60, m=80
Что то не понятно напиши.