Данное дифференциальное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка (ОДУ I) Здесь y' = dy/dx. Значит, (x^2+1)dy=(y^2+1)x dx | : (x^2+1) : (y^2+1) (комментарий: разделим оба части уравнения на x^2+1 и y^2+1) dy/(y^2+1) = x dx / (x^2+1) Проинтегрировав обе части уравнения, 1) dy/(y^2+1) = arctg y +C1(по таблице интегралов) 2) x dx / (x^2+1) = d(x^2+1) / (x^2+1) = 1/2 ln(x^2+1) +C2 получим arctg y + C1 = 1/2 ln(x^2 + 1) + C2 (Пусть C = C2-C1) arctg y = 1/2 ln(x^2 +1) + C - общий интеграл данного ОДУ (т.е. само решение)
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:
Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:
ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Почему? ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно увидеть.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде
Здесь y' = dy/dx. Значит,
(x^2+1)dy=(y^2+1)x dx | : (x^2+1) : (y^2+1) (комментарий: разделим оба части уравнения на x^2+1 и y^2+1)
dy/(y^2+1) = x dx / (x^2+1)
Проинтегрировав обе части уравнения,
1) dy/(y^2+1) = arctg y +C1(по таблице интегралов)
2) x dx / (x^2+1) = d(x^2+1) / (x^2+1) = 1/2 ln(x^2+1) +C2
получим
arctg y + C1 = 1/2 ln(x^2 + 1) + C2 (Пусть C = C2-C1)
arctg y = 1/2 ln(x^2 +1) + C - общий интеграл данного ОДУ (т.е. само решение)
Записать первые три члена ряда
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:
Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:
ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Почему? ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно увидеть.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде
Объяснение:sdg