Task/26525850 -------------------- Решите через систему √2x-x² +1 ≥ 2x - 3 . --------------- √( 2x- x² +1) ≥ 2x - 3 . ОДЗ данного неравенства: 2x - x² +1 ≥ 0 ⇔ x² - 2x - 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [ 1 - √2 ; 1 + √2 ] . Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства. 1. Если 2x - 3 < 0 ,то есть x < 1,5 , то все такие x из ОДЗ , удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ∈ [ 1 -√2 ; 1,5 ) − решения неравенства . 2. Если 2x-3 ≥ 0 , то есть x ≥ 1,5 ,а с учетом ОДЗ это означает, что 1,5≤ x ≤ 1 + √2 , иначе x ∈ [ 1,5 ; 1+√2] ,то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат: 2x- x² +1 ≥ ( 2x - 3 )² ; 2x- x² +1 ≥ 4x² - 12x +9 ; 5x² -14x +8 ≤ 0 ; Уравнение 5x² -14x +8 =0 имеет корни x₁ =(7-3)/5 =4/5 и x₂=(7+3)/5=2 Значит, решением неравенства являются x∈ [ 0,8 ; 2]. С учётом x ∈ [ 1,5 ; 1+√2] получается, что на данном множестве решениями являются x ∈ [ 1,5 ; 2] . Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем x ∈ [ 1 -√2 ; 1,5 ) ∪ [ 1,5 ; 2] , т.е. x ∈ [ 1 -√2 ; 2] .
ответ : x ∈ [ 1 -√2 ; 2] . * * * * * * * * * * * * P.S. * * * * * * * * * * * * Это решение можно записать другим ⇔ совокупности двух систем неравенств [ { 2x - 3 < 0 ; 2x - x² +1 ≥ 0 . [ { х <1,5 ; 1 -√2 ≤ x ≤ 1+ √2 . [ { 2x - 3 ≥ 0 ; 2x - x² + 1 ≥ (2x - 3)² . ⇔ [{ x ≥1,5 ; x∈ [ 0,8 ; 2] . ⇔ --- [ x ∈ [1 -√2 ;1,5 ) [ x ∈ [ 1,5 ; 2] . ⇔ x ∈ [1 -√2 ;2 ] . см еще и приложения
Елизавета Григорьевна Муромская (Бетси) — главная героиня повести А. С. Пушкина «Барышня-крестьянка», дочь помещика-англомана Григория Ивановича Муромского, возлюбленная Алексея. Лизе всего семнадцать лет. Она от природы наделена смуглым и приятным лицом, живыми черными глазами. Она рано осиротела и воспитывалась отцом, богатым помещиком. Муромский баловал свою единственную дочь, даже нанял для ее воспитания и образования чопорную англичанку мисс Жаксон. Лиза, как и все уездные барышни, была романтична, но отличалась сообразительностью и развитой смекалкой. Когда она узнала, что в деревню приехал сын соседнего помещика Ивана Петровича Берестова, тут же решила сама с ним познакомиться.
Лиза знала, что отец давно враждует с соседом, но, прослышав про обаяние молодого Алексея, все же увлеклась мыслями о нем. Для этого она попросила свою горничную и поверенную в тайных делах Настю понаблюдать в Тугилове за молодым барином. Когда Настя рассказала, насколько тот хорош и воспитан, Лиза сразу же...
придумала, как с ним познакомиться. Переодевшись в крестьянку, она отправилась гулять в соседние владения. Там на нее напала хозяйская собака, а Алексей вовремя подоспел на бедной девушке. Так они и познакомились. Лиза представилась дочерью кузнеца — Акулиной. С этого дня они встречались каждый день и гуляли в роще, но ничего большего девушка не позволяла и просила в деревне ее не искать.
Когда отец вздумал однажды пригласить Берестовых на ужин, Лиза страшно испугалась, но придумала новый план. Она нарядилась на английский манер, при этом изрядно набелила себе лицо, так что Алексей даже не узнал ее. Правда раскрылась лишь тогда, когда Муромский решил выдать за Алексея свою дочь. Тогда Алексей пришел объяснить, что любит другую, то есть кузнецову дочь Акулину, и поэтому жениться на Лизе не намерен. Каково же было его удивление, когда он узнал, что Лиза и есть та самая Акулина.
--------------------
Решите через систему √2x-x² +1 ≥ 2x - 3 .
---------------
√( 2x- x² +1) ≥ 2x - 3 .
ОДЗ данного неравенства: 2x - x² +1 ≥ 0 ⇔ x² - 2x - 1 ≤ 0 ⇔
x ∈ [ 1 - √2 ; 1 + √2 ] .
Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства.
1.
Если 2x - 3 < 0 ,то есть x < 1,5 , то все такие x из ОДЗ , удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ∈ [ 1 -√2 ; 1,5 ) − решения неравенства .
2.
Если 2x-3 ≥ 0 , то есть x ≥ 1,5 ,а с учетом ОДЗ это означает, что 1,5≤ x ≤ 1 + √2 , иначе x ∈ [ 1,5 ; 1+√2] ,то обе части неравенства неотрицательны.
Возведём обе части неравенства в квадрат:
2x- x² +1 ≥ ( 2x - 3 )² ;
2x- x² +1 ≥ 4x² - 12x +9 ;
5x² -14x +8 ≤ 0 ;
Уравнение 5x² -14x +8 =0 имеет корни x₁ =(7-3)/5 =4/5 и x₂=(7+3)/5=2
Значит, решением неравенства являются x∈ [ 0,8 ; 2].
С учётом x ∈ [ 1,5 ; 1+√2] получается, что на данном множестве решениями являются x ∈ [ 1,5 ; 2] . Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем x ∈ [ 1 -√2 ; 1,5 ) ∪ [ 1,5 ; 2] , т.е. x ∈ [ 1 -√2 ; 2] .
ответ : x ∈ [ 1 -√2 ; 2] .
* * * * * * * * * * * * P.S. * * * * * * * * * * * *
Это решение можно записать другим
⇔ совокупности двух систем неравенств
[ { 2x - 3 < 0 ; 2x - x² +1 ≥ 0 . [ { х <1,5 ; 1 -√2 ≤ x ≤ 1+ √2 .
[ { 2x - 3 ≥ 0 ; 2x - x² + 1 ≥ (2x - 3)² . ⇔ [{ x ≥1,5 ; x∈ [ 0,8 ; 2] . ⇔
---
[ x ∈ [1 -√2 ;1,5 )
[ x ∈ [ 1,5 ; 2] . ⇔ x ∈ [1 -√2 ;2 ] .
см еще и приложения
Елизавета Григорьевна Муромская (Бетси) — главная героиня повести А. С. Пушкина «Барышня-крестьянка», дочь помещика-англомана Григория Ивановича Муромского, возлюбленная Алексея. Лизе всего семнадцать лет. Она от природы наделена смуглым и приятным лицом, живыми черными глазами. Она рано осиротела и воспитывалась отцом, богатым помещиком. Муромский баловал свою единственную дочь, даже нанял для ее воспитания и образования чопорную англичанку мисс Жаксон. Лиза, как и все уездные барышни, была романтична, но отличалась сообразительностью и развитой смекалкой. Когда она узнала, что в деревню приехал сын соседнего помещика Ивана Петровича Берестова, тут же решила сама с ним познакомиться.
Лиза знала, что отец давно враждует с соседом, но, прослышав про обаяние молодого Алексея, все же увлеклась мыслями о нем. Для этого она попросила свою горничную и поверенную в тайных делах Настю понаблюдать в Тугилове за молодым барином. Когда Настя рассказала, насколько тот хорош и воспитан, Лиза сразу же...
придумала, как с ним познакомиться. Переодевшись в крестьянку, она отправилась гулять в соседние владения. Там на нее напала хозяйская собака, а Алексей вовремя подоспел на бедной девушке. Так они и познакомились. Лиза представилась дочерью кузнеца — Акулиной. С этого дня они встречались каждый день и гуляли в роще, но ничего большего девушка не позволяла и просила в деревне ее не искать.
Когда отец вздумал однажды пригласить Берестовых на ужин, Лиза страшно испугалась, но придумала новый план. Она нарядилась на английский манер, при этом изрядно набелила себе лицо, так что Алексей даже не узнал ее. Правда раскрылась лишь тогда, когда Муромский решил выдать за Алексея свою дочь. Тогда Алексей пришел объяснить, что любит другую, то есть кузнецову дочь Акулину, и поэтому жениться на Лизе не намерен. Каково же было его удивление, когда он узнал, что Лиза и есть та самая Акулина.