Знайдіть суму непарних натуральних чисел від 17 до 45 включно

Показать ответ

Ответ:

ELIZA200425

03.01.2022 10:48

Так как тортики имеют постоянную высоту, то вместо рассмотрения объемов буем рассматривать соответствующие площади оснований.

Площадь основания тортика радиуса R:

$S=\pi R^2$

Тогда, площадь основания одного Машиного куска:

$S=\dfrac{\pi R^2}{8}$

Рассмотрим Дашин кусок (на картинке). Вертикальной и горизонтальной прямой разобьем его на 4 равные части и рассмотрим одну из них. Проведем еще одну прямую так, чтобы эта часть разделилась на сектор и прямоугольные треугольник.

Рассмотрим полученный сектор. Пусть α - угол между радиусами, образующими сектор. Тогда, площадь сектора:

$S_1=\dfrac{\pi R^2}{2\pi} \cdot \alpha$

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Зная, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, получим, что один из острых углов этого треугольника равен α. Выразим через этот угол и известный радиус катеты треугольника:

$\sin \alpha=\dfrac{d}{R} \Rightarrow d=R\sin \alpha$

$\cos \alpha=\dfrac{x}{R} \Rightarrow x=R\cos \alpha$

Площадь прямоугольного треугольника:

$S_2=\dfrac{dx}{2} =\dfrac{R\sin \alpha \cdot R\cos\alpha }{2} =\dfrac{R^2\sin \alpha \cos\alpha }{2}$

Тогда, запишем сумму, представляющую площадь основания четверти кусочка Даши:

$\dfrac{S}{4}=S_1+S_2=\dfrac{\pi R^2}{2\pi} \cdot \alpha+\dfrac{R^2\sin \alpha \cos\alpha }{2}$

Отсюда площадь основания кусочка Даши:

$S=\dfrac{4\pi R^2}{2\pi} \cdot \alpha+\dfrac{4R^2\sin \alpha \cos\alpha }{2}$

По условию куски Маши и Даши должны быть одинаковы. значит:

$\dfrac{\pi R^2}{8}=\dfrac{4\pi R^2}{2\pi} \cdot \alpha+\dfrac{4R^2\sin \alpha \cos\alpha }{2}$

$\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{4\pi}{2\pi} \cdot \alpha+\dfrac{4\sin \alpha \cos\alpha }{2}$

$\dfrac{\pi}{8}=2\alpha+\sin2\alpha$

$2\alpha+\sin2\alpha=\dfrac{\pi}{8}$

$2\alpha+\sin2\alpha-\dfrac{\pi}{8}=0$

Для решения уравнения построим график в Microsoft Excel (картинка).

По графику определим, что равенство выполняется при $\alpha \approx 0.1$ .

График при $x\to0$ напоминает прямую, так как в данном случае имеем место быть первый замечательный предел.

Действительно, можно считать, что рассматриваемый угол α мал. Тогда: $\lim\limits_{\alpha \to0}\dfrac{\sin2\alpha }{2\alpha }$ в соответствии с первым замечательным пределом. Тогда от имеющегося уравнения можно перейти к более простому:

$2\alpha+\sin2\alpha-\dfrac{\pi}{8}=0$

$2\alpha+2\alpha-\dfrac{\pi}{8}\approx0$

$4\alpha\approx\dfrac{\pi}{8}$

$\alpha\approx\dfrac{\pi}{32}\approx0.098\approx0.1$

Искомое расстояние от оси симметрии соответствует уже вводившейся величине d:

$d=R\sin \alpha=R\sin 0.1$

По той же причине синус малого аргумента можно заменить самим этим аргументом. Получим:

$\boxed{d=0.1R}$

В частности, для практических целей выполненные приближенные допущения вполне допустимы и удачны.

Вернемся к полученному ранее уравнению:

$2\alpha+\sin2\alpha=\dfrac{\pi}{8}$

Заметим, что информация о том, что Маша разрезала свой тортик на 8 частей, сосредоточена в знаменателе правой части. Поэтому, если изначально Маша разрезала тортик на N частей, то проведя аналогичные рассуждения мы получим уравнение вида:

$\boxed{2\alpha+\sin2\alpha=\dfrac{\pi}{N}}$