Решение.
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC.
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
(это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи).
Трапеция, вписанная в окружность
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.
Найдем величины некоторых отрезков.
AD = 2R = 2 * 5 = 10 см
OC = OD = R = 5 см
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см
тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC.
BK2 = BM2 + MK2
MK2 = BK2 - BM2
MK2 = 172 - 152
MK2 = 64
MK = 8
Таким образом, MK = BC = 8 см
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
(это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи).
Трапеция, вписанная в окружность
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.
Найдем величины некоторых отрезков.
AD = 2R = 2 * 5 = 10 см
OC = OD = R = 5 см
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см
тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
CP2 + OP2 = OC2
CP2 = OC2 - OP2
CP2 = 52 - 42
CP2 = 25 - 16
CP = 3
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.