1. концы отрезка ав, не пересекает плоскость α, находятся на расстоянии 4 см и 8 см от этой плоскости. на каком расстоянии от плоскостей находится середина отрезка ав? 2. один из концов данного отрезка лежит в плоскости β, а его середина находится на расстоянии 2 см от плоскости. на каком расстоянии от плоскости находится другой конец отрезка? 3. авсdа1в1с1d1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 445), ав = 3 см, аd = 4 см, аа1 = 6 см. чему равно расстояние от точки в до прямой dс? 4. авсdа1в1с1d1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 445), ав = 3 см, аd = 4 см, вв1 = 6 см. почему равно расстояние между прямыми а1в1 и dd1? 5. авсdа1в1с1d1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 445), ав = 6 см, d = 8 см, вв1 = 9 см. чему равно расстояние от точки а1 до плоскости в1bd? 6. каком из предложенных значений не может равняться угол между скрещивающимися прямыми? 7. наклонная ам образует с плоскостью α угол 45° (рис. 436). найти длину наклонной, если длина ее проекции равна 2 см. 8. две плоскости пересекаются под углом 60°. точка а лежит в одной из плоскостей и удалена от второй плоскости на расстояние 6 см. найти расстояние от точки а до линии пересечения плоскостей. 9. ∆авс1 является ортогональной проекцией ∆авс на плоскость α (рис. 444). площадь треугольника авс равна 40 см2, а площадь треугольника авс1 равна 20 см2. найти угол φ между плоскостями авс и α. 10. авсdа1в1с1d1 - куб (рис. 445). найти угол между прямыми аа1 и вс1. 11. через вершину а квадрата авсd со стороной 8 см проведена перпендикуляр ао, длина которого 7 см. найти (в см) расстояние от точки т до прямой вd. 12. через гипотенузу ав прямоугольного треугольника авс проведена плоскость β, которая образует с плоскостью треугольника угол 30°. найти (в см) расстояние от точки с до плоскости β, если ас=6 см, св = 8 см.
решение: правильный треугольник вписан в окружность, значит центр окружности лежит в центре треугольника. проведем три радиуса в вершины треугольника, получим 3 равнобедренных треугольника с большей стороной равной 30/3=10 см. в одном треугольнике проведем высоту. высота в равнобедренном треугольнике является и мереданной и бессектрисой и делит большую сторону пополам 10/2=5. далее находим радиус окружности это косинус(30)=5/Х. отсюда Х =10/корень3. далее проводим радиусы в квадратк к вершинам. и находим сторону квадрата косинус45=радиус/Х отсюда Х равен 10×корень6/3. перимитр равен 4×Х и равен 40корень6/3
36:3=12.
Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°.
Вычислим диаметр окружности:
d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3.
Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а.
По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)².
2a²=64·3,
a²=32·3=16·2·3,
a=√16·6=4√6.
a=4√6.