1. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 3.
2. Докажите, что кубе ABCDA1B1C1D1 прямая CC1 перпендикулярна прямой AD.
3. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные ортогональные проекции на эту плоскость.
4*. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до плоскости CFA1.
5*. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведите сечение плоскостью, проходящей через середину ребра AB и перпендикулярной прямой DB1.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: ∠∠1 = ∠∠2 и ∠∠2 = ∠∠3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что ∠∠1 = ∠∠3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.