1. Плоскости аир пересекаются по прямой р. В плоскости Влежат точки МиК, причем прямая МК не параллельна прямой р, а в плоскости а
лежит тоска О. Постройте линии пересечения плоскостей а и в с
плоскостью (мко).
2. Луч BA пересекает параллельные плоскости аир в точках А, и А2, а луч
Вс - в точках Си С2 соответственно. Вычислите длину отрезка А.С.,
если BA1=12дм, AA2=6 и AC=8.
3. Треугольник ABK и трапеция ABMP с основаниями AB и МР имеют
общую сторону и не лежат в одной плоскости. Точки Ои С середины
сторон Ами МВ соответственно. Докажите, что прямые СО и ВМ
скрещиваются и найдите угол между ними, если угол М равен 40°.
4. В тетраэдре DABC точка M – середина ребра AB, точка N лежит на
ребре BD и делит его в отношении 5:1, считая от точки Ви точка к
лежит на ребре CD и делит его в отношении 1:3, считая от точки С.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью (MNK).
В сектор, центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Найти радиус сектора.
Обозначим вписанный квадрат АВСД,
В и С - точки касания с дугой сектора, точки А и Д - с его сторонами-радиусами, О - вершина угла сектора.
∆ АОД - равнобедренный, углы при А и Д равны 30º.
Из О проведем биссектрису угла АОД до пересечения с ВС в точке М. Обозначим точку пересечения с АД - Н.
Тогда ВО - искомый радиус R
R²=МО²+МВ²
МВ=а/2
МО=МН+НО
МН=а,
ОН=ДН*tg30º=(а/2)*1/√3=a/2√3
МО=а+a/2√3=а(2√3+1)
R²=[3a²+a²(2√3+1)²]:12
R²=a²(4+√3):3
R=a√(4+√3):√3
--------------------------------------------------
Или по т. косинусов:
R²=АВ²+АО²- 2АВ*АО*cos∠ВАО
∠ВАО=90º+30º=120º
cos120º=-cos∠60º= -1/2
Из ∆ АОН
АО=АН/sin60º=a/√3
R²=а²+а²/3- (2а²/√3)*(-1/2)
R²=а²(4√3+3):3√3=а²(4√3+√3*√3):3√3
Сократим выражение на √3
R²=а²(4+√3):3
R=a√(4+√3):√3