1.почему определение скалярного произведения двух векторов в плоскости и в пространстве одинаковы? 2.можно ли использовать правило параллелограмма для сложения более двух векторов? ответ поясните.

Плоскость можно провести через две пересекающиеся прямые или через две параллельные прямые.

Через скрещивающиеся прямые плоскость провести нельзя.

1) Да, так как прямые АВ и BD₁ имеют общую точку В, значит пересекаются.

2) Да, так ВВ₁ и DD₁ параллельны (ВВ₁║СС₁ и СС₁║DD₁ как противоположные стороны квадрата, значит ВВ₁║DD₁).

3) Нет, так как прямые АА₁ и BD₁ скрещивающиеся (АА₁ лежит в плоскости (AA₁D₁), BD₁ пересекает эту плоскость в точке D₁, не лежащей на АА₁).

4) Да, так как A₁D║B₁C. Рассмотрим четырехугольник A₁B₁CD: А₁В₁║CD (А₁В₁║C₁D₁, а C₁D₁║CD как противолежащие стороны квадратов), и

А₁В₁ = CD как ребра куба.

Тогда  A₁B₁CD - параллелограмм, ⇒ A₁D║B₁C.

5) Нет, так как прямые АD и B₁C скрещивающиеся (АD лежит в плоскости (ABC), B₁C пересекает эту плоскость в точке C, не лежащей на АD).

Плоскость BDD₁ проходит через точку B₁. Точка В принадлежит плоскости BDD₁ и прямая DD₁ лежит в этой плоскости, значит прямая, проходящая через В параллельно DD₁ лежит в этой плоскости.

Ромб - параллелограмм. 
В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º.
Значит, угол АВС равен 180° - ∠DAB=180° -60°=120°
∠АВК и угол АВС -  один и тот же. Поэтому угол АВК=120°.
В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. ⇒
АС - биссектриса угла DАВ ⇒ ∠ САВ=60°:2=30°
АК - биссектриса угла САВ. Так как биссектриса делит угол пополам, то АК при делении угла САВ делит его на два по 30°:2=15°
В треугольнике сумма углов равна 180°
В треугольнике АВК 
∠АКВ+∠КАВ+∠АВК=180°⇒
∠АКВ=180°-120°-15°=45°