1. построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары:

1) параллельные прямые к ad;

2) скрещивающиеся прямые к ав.

2. точка м лежит на середине ребра ad тетраэдра dabc. построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку м параллельно плоскости bdc.

3. точка мфплоскости параллелограмма abcd. доказать, что cdi|abm.

4. даны параллелограмм abcd и трапеция авек с основанием ек, не лежащие в одной плоскости. докажите, что ad-ek.

5. дан параллелепипед abcda1b1c1d1. точки k,l,m и n середины сторон ad, bc, b1c1 и a1d1 соответственно. докажите плоскость klmnijabb1a1.

1) Для нахождения координат требуется решить систему данных уравнений. Из второго уравнения находим x=3y-4, Подставляя это выражение для x в первое уравнение, получаем уравнение 4-3y+2y-4=-y=0, откуда y=0. Подставляя найденное значение y в любое из данных уравнений, находим x=-4. Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (-4,0).
2) У любой точки первой четверти обе координаты положительны, у точек 2 четверти x<0, y>0, у точек 3 четверти x<0,y<0, у точек 4 четверти x>0,y<0. У точки С x>0, y<0. Поэтому точка С расположена в 4 координатной четверти.

По условию ∆ АВС – равнобедренный, АВ = ВС → СК : ВК = АМ : ВМ = 5 : 8
Значит, CK = АМ = 5х , ВК = ВМ = 8х

ВМ = ВК = 8х , АМ = АЕ = 5х , СК = СЕ = 5х – как отрезки касательных к окружности

AB + BC + AC = P abc
8x + 5x + 8x + 5x + 5x + 5x = 72
36x = 72
x = 2
Из этого следует, что ВМ = ВК = 16 , АМ = АЕ = 10 , СК = СЕ = 10 → АВ = ВС = 26 , АС = 20

Рассмотрим ∆ АВЕ (угол АЕВ = 90°):
По теореме Пифагора:
АВ² = АЕ² + ВЕ²
ВЕ² = 26² – 10² = 676 – 100 = 576
ВЕ = 24

S abc =( 1/2 ) × AC × BE = ( 1/2 ) × 20 × 24 = 240

ОТВЕТ: S abc = 240