1) Точка А належить відрізку КМ, довжина якого 43 м. Визначити довжину найбільшої частини відрізку, якщо одна частина відрізка на 17 м менша за іншу. 2) Точка А належить відрізку КМ, довжина якого 48 м. Визначити довжину найбільшої частини відрізку, якщо одна частина відрізка у 7 разів менша за іншу.
3) Точка А належить відрізку КМ, довжина якого 46 м. Визначити довжину найбільшої частини відрізку, якщо різниця довжин цих частин відрізка дорівнює 14 м.
4) Точка А належить відрізку КМ, довжина якого 49 м. Визначити довжину найменшої частини відрізку, якщо довжини цих частин відносяться як 3:4.
5) Точки А, В, С, Д лежать на одній прямій. Відомо, що відстань АД=116 м, відстань АВ більша у 3 рази за відстань ВС і відстань СД менша за відстань АС на 4 м. Знайти відстань СД.
6) Відрізок завдовжки 50 м складається з чотирьох нерівних частин. Відстань між серединами середніх частин дорівнює 15 м. Знайти відстань між серединами крайніх частин.
7) Промінь проходить між сторонами кута і ділить його на кути 23 і 68 градусів. Знайти кут суміжний до даного кута.
8) Знайти найбільший з суміжних кутів, якщо вони відносяться як 5:7
9) Бісектриса кута утворює з його стороною кут 57 градусів. Знайти кут суміжний до даного кута.
10) Знайти найменший кут, який утворився при перетині двох прямих, якщо сума трьох з них 247 градусів.
11) Промені АС і АД проходять між сторонами кута ВАЕ. Відомо, що кут САЕ дорівнює 83 градуси, кут ВАД - 72 градуси і кут САД - 45 градусів. Знайти кут ВАЕ.
12) Нехай дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою. Відомо, що сума внутрішніх різносторонніх кутів дорівнює 118 градусів. Знайти найбільший відповідний кут.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.
Чтобы опустить перпендикуляр из точки (номер 1, в нашем случае - это точка B) на прямую, надо поставить острие циркуля в эту точку и произвольным одинаковым раствором циркуля (явно большим расстояния от точки до прямой) сделать две засечки на этой прямой, получишь две точки пересечения (номер 2 и номер 3), а затем, ставя поочередно в эти точки острие циркуля одинаковым раствором циркуля (не обязательно равным первоначальному, но явно большему половины длины отрезка между точками 2 и 3, а лучше просто не менять раствор циркуля) провести две дуги до их пересечения на другой стороне прямой (а если поменять раствор циркуля, то можно провести две дуги до пересечения и на той же стороне прямой, где была точка номер 1). Получишь четвертую точку - точку пересечения дуг. Соедини первую точку с четвертой до пересечения с прямой, если они по разные стороны от прямой, или продли линию до пересечения с прямой, если точки 1 и 4 находятся по одну сторону от прямой. Эта линия и будет перпендикуляром, опущенным из первой точки на данную прямую. А точка пересечения перпендикуляра с прямой и будет точкой С нашего треугольника.