1. Укажите номера верных утверждений. 1) Геометрия это наука освойствах геометрических фигур.
2) Прямая не является основной геометрической фигурой на плоскости.
3) Отрезок имеет два конца.
4) Расстоянием между точками называется длина отрезка с концами
ответ:
1) В правильном шестиугольнике все стороны равны.
P₆ = 6a₆,
где а₆ - сторона шестиугольника.
6а₆ = 48
а₆ = 8 м
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне:
R = a₆ = 6 м
Эта же окружность описана около квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата:
R = a₄√2 / 2
6 = a₄ √2 / 2
a₄ = 12 / √2 = 6√2 м
2) Шестиугольник диагоналями делится на 6 равных равносторонних треугольников, так как центральный угол его равен 360°/6 = 60°.
Площадь одного треугольника:
S = a²√3/4 = 72√3 / 6
a²√3/4 = 12√3
a² = 48
a = 4√3 см - сторона шестиугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне:
R = a = 4√3 см
Длина окружности:
C = 2πR = 2π · 4√3 = 8π√3 см
Симпатичное условие. :))
То, что в 4угольник можно вписать окружность, сразу определяет порядок сторон.
1,2,4,3 (обход по часовой стрелке).
Суммы противоположных сторон должны быть равны.
На самом деле, возможны еще перестановки, но они отличаются от этой поворотом или зеркальным отражением, то есть эквивалентны этой. Можете их все перебрать, нарисовать - и увидите :).
На этом техническая простота заканчивается - раз этот 4угольник можно вписать в окружность, то сумма противоположных углов равна 180 градусов - поскольку они опираются на дуги, дополняющие друг друга до полной окружности.
Интуитивно понятно, углы между большими сторонами будут меньше - это утверждение ничего не меняет в решении, так что его можно не читать :)
Пусть диагонали d1и d2;
Введем обозначения для косинусов углов (обратите внимание, что именно я обозначаю!) между сторонами.
Пусть косинус угла между сторонами 2 и 4 равен x - тогда косинус угла между сторонами 1 и 3 равен -х; (потому что сумма этих углов 180 градусов)
d1^2 = 4^2 + 2^2 - 2*2*4*x = 1^2 + 3^2 + 2*1*3*x;
отсюда x = 5/11; d1^2 = 140/11;
Аналогично, пусть косинус угла между сторонами 3 и 4 равен y; тогда косинус угла между сторонами 1 и 2 равен -y;
d2^2 = 4^2 + 3^2 - 2*3*4*y = 1^2 + 2^2 + 2*1*2*y;
отсюда y = 5/7; d2^2 = 55/7;
Ясно, что d2 - меньшая диагональ, она равна √(55/7)
Я не уверен, что вы знаете, что cos(x) = - cos(180 - x), но теорему косинусов для случая тупых углов должны были проходить. Так что с чередованием знака все должно быть понятно.