1.В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 8 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN.
2.Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите гипотенузу.
3.Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу
ВС=√(36+64)=10.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла: СК/АС=АС/ВС (каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу)⇒СК=АС²/ВС=64/10=6,4.ВК=ВС-СК=10-6,4=3,6. АК из ΔАКС:
АК=√(АС²-КС²)=√(64-40,96)=4,8.
2. Примем единичный отрезок длины стороны треугольника за х см, тогда гипотенуза АВ=13*х, катет АС=5х. Используя теорему Пифагора, составим выражение для нахождения второго катета СВ, величина которого 120мм=12см:(12)²=(13х)²-(5х)²⇒169х²-25х²=144⇒144х²=144⇒х=1см, значит гипотенуза АВ=13*1=13см, катет АС=5*1=5см. ΔАСD подобен ΔАСВ по двум углам, так как ∠А-общий, ∠ACB=∠ADC, отсюда AD/AC = AC/AB (каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу).. Отсюда AD=АС²/АВ AD=25/13=1 12/13≈1,92см, DB=AB-AD=13-1,92=11,08см..
Прикреплены 2 рисунка.
По условию задачи медиана AM треугольника ACS пересекает высоту
конуса, значит медиана АМ и высота конуса ∈ плоскости Δ ACS.
Учитывая, что SC и SA образующие конуса, то SC = SA, значит Δ ACS - равнобедренный.
Т.к. N - середина АС, тогда SN - высота конуса и высота Δ ACS. ⇒ SN ⊥ AC и АС - диаметр основания конуса.
По условию AB = BC ⇒ ΔАВС - равнобедренный,
тогда BN - высота ⇒ BN ⊥ AC и BN ⊥ AN
Учитывая, что SN ⊥ BN, AS - наклонная, AN - проекция наклонной (AN ⊥ BN), то по теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ BN, а значит BN ⊥ MN, так как MN || AS (MN - средняя линия).
Что и требовалось доказать.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если
Решение.
Построим прямую МЕ || SB. Прямые AM и SB скрещиваются, поэтому угол между ними, будет равен углу между прямой АМ и МЕ.
Угол АМЕ найдем из ΔАЕМ, для это найдем его стороны.
ΔАВС - равнобедренный (по условию AB = BC) и прямоугольный. ∠ ВАС = 90° т.к. это угол опирается на диаметр окружности), тогда
AE - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем
Рассмотрим ΔASC. AМ - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем
Рассмотрим ΔSBC. Где AS = SB = 2, ME - средняя линия ΔSBC, тогда
МЕ = SB / 2 = 2 / 2 = 1
Тогда по теореме косинусов из ΔAME найдем ∠AME = α
Отсюда
ответ: