1) В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и высотой, проведенными из
вершины прямого угла, равен 17. Найдите больший острый угол данного треугольника.
2) В прямоугольном треугольнике ВКС гипотенуза СВ равна 14,4 см, катет ВК равен 7,2 см,
КМ – высота. Найдите расстояние от точки М до прямой КС
Если прямая пересекает ось Ох, то координата у равна нулю. Аналогично при пересечения с осью Оу координата х равна нулю.
Найдем точку пересечения с осью Оу:
х = 0
-5у = 20
у = -4
Точка пересечения с с осью Оу: (0; -4)
Найдем точку пересечения с осью Ох:
у = 0
4х = 20
х = 5
Точка пересечения с с осью Ох: (5; 0)
4х – 5y = 20
1) A (10; 4);
4 * 10 - 5 * 4 = 20
40 - 20 = 20
20 = 20 - принадлежит
2) В (6; 1);
4 * 6 - 5 * 1 = 20
24 - 5 = 20
19 ≠ 20 - не принадлежит
3) C(-1,5; 5,2);
4 * (-1,5) - 5 * 5,2 = 20
-6 - 26 = 20
-32 ≠ 20 - не принадлежит
4) D(-1; 5)
4 * (-1) - 5 * 5 = 20
-4 - 25 = 20
-29 ≠ 20 - не принадлежит
а) Доказательством того, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС, служит совпадение проекции точки К на прямую ВМ.
Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат точкой А в начало, АД - по оси Ох, АВ - по оси Оу.
Уравнение АС: у = х.
Уравнение ВМ: у = (-5/7)х + 7.
Вычтем из первого уравнения второе: х - ((-5/7)х + 7) = 0,
12х = 49, координаты точки пересечения АС и ВМ: ((49/12); (49/12)).
Теперь определим координаты проекции точки К на АВС.
Рассмотрим осевое диагональное сечение по ребру РС.
Из подобия (6/(7√2/2)) = 1/m
где m - проекция РК на плоскость АВС, а, точнее, на диагональ АС.
m = 1*(7√2/2)/(6*2) = 7√2/12.
Разложим m по осям: x(m) = y(m) = (7√2/12)*(√2/2) = 7/12.
Теперь можно определить координаты точки Ко:
х(Ко) = у(Ко) = (7/2) + (7/12) = 49/12.
Доказано: точка К лежит в плоскости, перпендикулярной АВС.
б) V(КВСМ) = (1/3)S(BCM)*h(KKo).
S(BCM) = (1/2)*7*5 = 35/2.
Высота пирамиды РРо = √(6² - (7√2/2)²) = √(36 - (98/4)) = √95/2.
Высоту h(KKo) находим из подобия:
h(KKo) = (5/6)PPo = (5/6)*(√95/2) = (5√95/12).
ответ: V(КВСМ) = (1/3)*(35/2)*(5√95/12) = 175√95/72.