1. В треугольнике ABC, угол А= 45°, угол В = 60°, ВС = 3. Найдите AC
2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°.
Найдите третью сторону треугольника.
3. Определите вид треугольника ABC, если А (3; 9), В (0; 6), C (4; 2).
4. Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин А - 1; 1), В (3; 3),
С (2; - 2), D(-2; - 1). Найдите синус угла между его диагоналями.
Обозначим высоту трапеции ВЕ=Н, а высоту треугольника ВСМ ВР=h.
Площадь трапеции: S=Н·(АД+ВС)/2=Н·(2+4)/2=3Н.
Площадь тр-ка ВСМ: S(ВСМ)=ВС·ВР/2=2h/2=h.
S(ВСМ):S(АМСД)=1:3=1x:3x, S(ВСМ)+S(АМСД)=1x+3x=4x=S ⇒ S(ВСМ)=S/4.
h=3H/4 ⇒ h:H=3:4.
Треугольники АВЕ и МВР подобны по трём углам, значит ВР/ВЕ=МР/АЕ,
МР=ВР·АЕ/ВЕ=h·AE/H=3АЕ/4.
АЕ=АД-ЕД=АД-ВС=4-2=2.
МР=3·2/4=1.5.
МТ=МР+РТ=МР+ВС=1.5+2=3.5 - это ответ.
Проведем третью медиану СМ из вершины С, она тоже пройдет через точку О (т.к. все медианы пересекаются в одной точке - эта точка делит каждую медиану в отношении 1:2, т.е. ОМ = СМ/3).
В равнобедренном теругольнике медиана, проведенная из вершины, является одновременно и биссектрисой этого угла, и высотой. Основание теугольника известно по условию. Если мы найдем величину высоты СМ, то легко найдем площадь треугольника - S = СМ * АВ /2.
Заметим, что треугольник АОВ прямоугольный (по условию, т.к. медианы пересекаются под прямым углом) и равнобедренный ( трегольники АОС и ВОС равны по равенству двух сторон и углов между ними, т.к. АС=ВС по условию, СО - общая сторона и углы АСО и СОВ равны, поскольку СО - биссектриса угла АСВ, следовательно, АО=ОВ).
Углы при основании треугольника АОВ равны и составляют 45 градусов каждый. Поэтому треугольник АОМ тоже равнобедренный (угол АМО прямой, а угол ОАМ 45 градусов, значит, и угол АОМ тоже 45 градусов). Следовательно, АМ=ОМ (как стороны равнобедренного треугольника АОМ).
АМ равна половине основания АВ (т.к. СМ - медиана), следовательно ОМ =2. Полная длина медианы СМ=ОМ * 3 = 6.
S = СМ * АВ /2 = 6 * 4 / 2 = 12.