11.2. Один из катетов треугольника, подобного прямоугольному треугольнику с катетами 3 м
и 4 м, равен 27 м. Скольким метрам равен
второй катет?
11.3. Площади двух подобных прямоугольных
треугольников равны 21 м2 и 84 м.Найдите
катеты второго треугольника, если один из
катетов первого равен 6 м.
11.4. В окружность вписаны два подобных
прямоугольных треугольника.Докажите, что
Эти треугольники равны.
11.5*. Впрямоугольный треугольник с катетами
10 см и 12 см вписан квадрат, имеющий с
треугольником общий угол. Найдите сторону
Квадрата, если одна из его вершин лежит на
гипотенузе.
Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°.
Соединяем точку А₁ с точкой D.
В треугольнике АА₁D
AA₁=2 м
AD=1 м
∠A₁AD=60°
По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3
A₁D=√3 м
Треугольник A₁AD- прямоугольный
по теореме обратной теореме Пифагора:
АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )²
A₁D⊥AD
В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны
АС⊥AD
Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD
ВС || AD
BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD
A₁C - высота призмы
A₁C=Н
Из прямоугольного треугольника
A₁DC:
А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2
A₁C=Н=√2 м
S(параллелепипеда)=S(осн)·Н=АВ²·Н=1·√2=√2 куб. м