3. Відрізок AD — бісектриса прямокутного трикутника АВС
(С = 90°). Точка D ділить сторону ВС на відрізки завдовж-
ки 15 см і 25 см. Знайдіть синус кута ADC.​

АВСДЕФ - шестиугольник, АВ=10, ВС=СД=ДЕ=ЕФ=АФ.
В тр-ке ВОК=ВО=D/2=5√2, ВК=ВК/2=5, sin(ВОК)=ВК/ВО=5/5√2=√2/2.
∠ВОК=45°, ∠АОВ=90°.
∠ОАВ=∠ОВА=45°.
В оставшейся части окружности расположено пять равных тр-ков, градусная мера центрального угла каждого из них равна: ∠ВОС=(360-90)/5=54°. ∠ОВС=(180-54)/2=63°.
Градусная мера угла шестиугольника, образованного двумя равными треугольниками, равна сумме углов при основании одного из них.
∠ВСД=63+63=126°.
В шестиугольнике ∠С=∠Д=∠Е=∠Ф=126° - это ответ.
∠А=∠В=∠ОВА+∠ОВС=45+63=108° - это ответ.

Пусть нижнее основание равно а, верхнее равно b, боковая сторона равна с, угол при нижнем основании равен α.

У трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона равна средней линии: с = (a + b)/2.

Используем формулу площади трапеции:

S = ((a+b)/2)*h = ((a+b)/2)*√(ab).

Получаем первое уравнение:  ((a+b)/2)*√(ab) = 576 или

(a+b)*√(ab) = 1152.

Теперь используем заданное условие: расстояние между точками касания этой окружности боковых сторон равно 3.

Выразим расстояние t между точками касания.

t = b+2(b/2)*cos α = b(1 + cos α) = 3.

Косинус альфа выразим так:

cos α = ((a - b)/2)/c = ((a - b)/2)/((a + b)/2) = (a - b)/(a + b).

Тогда второе уравнение получим в виде:

b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.

Решаем систему из двух уравнений с неизвестными a и b.

{(a+b)*√(ab) = 1152.

{b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.

Решение даёт значение оснований трапеции:

a = 12(√15 + 4) ≈ 94,4758.

b = -12(√15 - 4) ≈ 1,5242.

Находим радиус r вписанной окружности.

r = h/2 = √(ab)/2 = 6.

ответ: радиус равен 6.