На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно Точки M и K так, что AM:MB=3:4,BK:KC=2:3. Выразите вектор MK через векторы DA=a и DC=b.
Вписанный угол ACD равен 90°, следовательно, он опирается на диаметр, которым и является большее основание трапеции
AD = 2R = 16
Около четырёхугольника можно описать окружность, если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°. Следовательно, угол ADC, противоположный углу ABC равен
∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°
В прямоугольном треугольнике ACD c гипотенузой AD = 16: ∠ ACD = 90° (дано), ∠ADC = 60° (получено), найдём CD и ∠СAD,
Для доказательства достаточно показать, что один из углов, например, угол С прямой. Тогда все углы параллелограмма будут прямыми и получится прямоугольник.
Пусть E, F, G и H середины сторон параллелограмма (см. рисунок).
Через пару точек E и F, G и H проведём прямые. Так как точки E и F, G и H середины сторон параллелограмма, то прямые EF || BC и GH || CD.
С другой стороны отрезки EF и GH являются диагоналями ромба EHFG и поэтому пересекаются под прямым углом, то есть EF⊥GH. Но EF || BC и GH || CD, откуда следует, что BC⊥CD, что и требовалось доказать.
Объяснение:
Дано:
АВСD - трапеция: AB = CD
∠ACD = 90°
∠ABC = 120°
R = 8
Найти:
Вписанный угол ACD равен 90°, следовательно, он опирается на диаметр, которым и является большее основание трапеции
AD = 2R = 16
Около четырёхугольника можно описать окружность, если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°. Следовательно, угол ADC, противоположный углу ABC равен
∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°
В прямоугольном треугольнике ACD c гипотенузой AD = 16: ∠ ACD = 90° (дано), ∠ADC = 60° (получено), найдём CD и ∠СAD,
CD = AD · сos 60° = 16 · 0.5 = 8
и
∠СAD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°
Трапеция равнобедренная, значит
АВ = CD - 8
Найдём ВС - меньшее основание трапеции
Трапеция равнобедренная, следовательно
∠BCD = ∠ABC = 120°
и
∠BAD = ∠ADC = 60°
В треугольнике АВС
∠ВСА = ∠BCD - ∠ACD = 120° - 90° = 30°
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°
Cледовательно, ΔАВС - равнобедренный
ВС = АВ = 8
Периметр трапеции равен
Для доказательства достаточно показать, что один из углов, например, угол С прямой. Тогда все углы параллелограмма будут прямыми и получится прямоугольник.
Пусть E, F, G и H середины сторон параллелограмма (см. рисунок).
Через пару точек E и F, G и H проведём прямые. Так как точки E и F, G и H середины сторон параллелограмма, то прямые EF || BC и GH || CD.
С другой стороны отрезки EF и GH являются диагоналями ромба EHFG и поэтому пересекаются под прямым углом, то есть EF⊥GH. Но EF || BC и GH || CD, откуда следует, что BC⊥CD, что и требовалось доказать.