4.Дано вектори ⃗а (6 ; х ) та с(-6 ; х ). Знайти значення х , при яких дані вектори будуть перпендикулярні. 5.При якому значенні змінної, вектори ⃗р (х-1 ; 2 ) та ⃗к( 4 ; -4 ) будуть колінеарні. Чи співнапрямлені ці вектори?
6.При яких значеннях змінної , модуль вектора ⃗а(х-2 ; 5) дорівнює 13.
7.Знайти кут А трикутника АВС з вершинами А (-1 ;√3 ) В (1 ; -√3 ) С ( 0,5 ; √3 ).
8.Дано: ⃗а( 0 ; - 3) , ⃗в( -2 ; 1 ) , с = р⃗а + 2⃗в . Знайдіть р, якщо с(-4 ; 11 ).
9.У рівносторонньому трикутнику АВС точки М і N - середини сторін ВС і АС відповідно.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Побудуйте вектори а) АВ + АС б) АМ - А.
На рисунке обозначены:
ABC - Основание пирамиды
OS - Высота
KS - Апофема
OK - радиус окружности, вписанной в основание
AO - радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO - двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)
Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).
Свойства правильной треугольной пирамиды:
боковые ребра правильной пирамиды равны
все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов ).
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан
Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.
Примем проекцию точки S на основание за О, середину АС за Д.
ВД = √(2² - (√3/2)²) = √(16-3)/4) = √13/2.
Площадь основания So = (1/2)AC*ВД = (1/2)*√3*(√13/2) = √39/4.
Так как боковые рёбра имеют одинаковый угол наклона к основанию, значит, они и их проекции на основание равны между собой.
АО = R = (a²b)/(4S) = (2²*√3)/(4*(√39/4)) = 4√13/13.
Высота Н пирамиды, как катет против угла в 60 градусов, равна:
Н = R*tg 60° = 4√39/13.
Тогда объём пирамиды равен:
V = (1/3)SoH = (1/3)*(√39/4)*(4√39/13) = 1.