ABCD - квадрат, AO=OD=AD. Найдите <BOC

Треугольники АОД и ВОС - подобны (все углы равны). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

к² =25/16

к = 5/4

Значит АО/ОС = ОД/ОВ = 5/4                  (1)

Воспользуемся формулой для площади тр-ка через две стороны и синус угла между ними (пусть угол АОД = углу ВОС = α):

S(АОД) = (1/2)*АО*ОД*sinα = 25

S(ВОС) = (1/2)*ВО*ОС*sinα = 16

Теперь из второго выразим ВО и ОС:

ВО = 32/(ОС*sinα);  ОС = 32/(ВО*sinα)      (2)

Эти формулы пригодятся при нахождении площадей тр-ов АОВ и СОД:

S(АОВ) = (1/2)*АО*ОВ*sin(π-α);   S(СОД) = (1/2)*ОД*ОС*sin(π-α)       (3)

Подставим (2) в (3) и учтем, что sin(π-α)=sinα :

S(АОВ) = 16*(АО/ОС);    S(СОД) = 16*(ОД/ОВ)

С учетом (1) получим что эти треугольники равновеликие и их площади равны:

S(АОВ) = S(СОД) = 16 *(5/4) = 20 см².

Площадь всей трапеции состоит из площадей 4-х треугольников:

S(АВСД) = 25 + 16 + 2*20 = 81 см²

ответ: 81 см².

Обозначим вершины треугольника АВС, а точку пересечения медианы со стороной ВС точкой М.

Рассмотрим треугольники АВМ и АМС.

Их площади равны, так как в этих треугольниках высота из А к ВС для обоих треугольников одна и та же, а основания этих треугольников равны половине стороны и равны 4 см.  

Мы  знаем, что треугольники с равными высотами и основаниями имеют равную площадь.
По формуле Герона полупериметр треугольников с равной площадью должны быть равны, если две стороны этих треугольников равны.

 Отсюда

АС=АВ.
Третья сторона этого треугольника равна боковой стороне и равна 8 см.
Треугольник - равносторонний.