А). Цитата: "Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности". В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A. <ABC=180°-<CBP, <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных углов. Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно. Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или <BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA). Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а <BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу. <BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A. Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов <А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность и при том только одну. Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежит на этой окружности, что и требовалось доказать.
б). Пусть R/r=4/3. r=(3/4)*R. <А+<BOC= 180° (доказано выше). CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC). ВС - общая хорда пересекающихся окружностей. По теореме косинусов из треугольника ОВС: BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1) Bз треугольника AВС: <BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC. <BJC=2<A. BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2) Приравняем (1) и (2): 2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A) или 2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A) или (1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A). По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда 1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A). Пусть CosA= Х, тогда: 8+8Х=9-9Х² или 9Х²+8Х-1=0 Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9. Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0. ответ: CosA=1/9.
Треугольник MNK, MN=NK=корень из 3, угол N=120 гр., NP-высота Решение: Т.к. в равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой, значит MP=PK, угол MNP=углу PNK=60гр. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP. Т.к. угол P=90 гр, угол N=60 гр, значит угол М=30 гр. Следовательно, NP=1/2 MN=(корень из 3)/2 (катет против угла 30 гр. равен половине гипотенузы) По теореме Пифагора: MP= корень из (MN^2-NP^2)=1,5 см Значит МК=2*1,5=3 см Периметр треугольника MNK=3+корень из "3"+корень из "3"=3+2 корня из "3"
окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов
треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими
двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром
такой окружности".
В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A.
<ABC=180°-<CBP, <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных
углов.
Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по
определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно.
Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или
<BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA).
Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а
<BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
<BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A.
Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов
<А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольника
можно описать окружность и при том только одну.
Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и
четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежит
на этой окружности, что и требовалось доказать.
б). Пусть R/r=4/3. r=(3/4)*R.
<А+<BOC= 180° (доказано выше).
CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC).
ВС - общая хорда пересекающихся окружностей.
По теореме косинусов из треугольника ОВС:
BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1)
Bз треугольника AВС:
<BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC.
<BJC=2<A.
BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2)
Приравняем (1) и (2):
2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A) или
2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A) или
(1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A).
По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда
1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A).
Пусть CosA= Х, тогда:
8+8Х=9-9Х² или
9Х²+8Х-1=0
Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9.
Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0.
ответ: CosA=1/9.