На стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD отмечена точ- ка P . Оказалось, что описанные окружности треугольников P AB и P CD касаются прямой AD. При этом ∠BAP = ∠P DC = 30◦. Найдите угол APD.

Дано:∆АВС;

AС = CВ

СК - биссектриса

ВК = а)3,4;  б) 5мм; в) 4,45см

Найти AB

Решение

1).Биссектриса  СК разделила ∠ АСВ на два равных  угла <АСК=<КСВ.

2)Рассмотрим ∆АСК и ∆КСВ.

У них:

СК- общая сторона;

AС = CВ по условию

<АСК=<КСВ

Следовательно ∆АСК = ∆КСВ по по двум сторонам и углу между ними.

2) Из равенства ∆АСК = ∆КСВ

следует равенство соответственных сторон т.е. АК = ВК.

(Т.е. СК-медиана)

3) Тогда вся сторона АВ = 2*ВК

 При а)3,4; 

АВ = 2*ВК = 2*3,4=6,8 

б) 5мм;

АВ = 2*ВК = 5мм*2=1см

в) 4,45см

 АВ = 2*ВК = 2*4,45см=8,9см

рисунок ниже

Дано: АВ и CD - прямые

О - точка пересенения

AB = CD

AO = CO

Доказать: а) Δ BOC= Δ DOA

               б) ∠ ABC = ∠ADC

Доказательство:

а).

1) AB = CD - по условию 

AO = CO - по условию

От равных отрезков отнимем равные отрезки, получим отрезки, равные между собой.

AB-AO = CD-CO

OB = OD

2). 

Получаем, равенство треугольников Δ BOC= Δ DOA по  двум сторонам и углу между ними.  

AO = CO - по условию

OB = OD - доказано в первом действии

<AOD = <COB - как вертикальные

∆BOC= ∆ DOA  - равенство треугольников доказано.

б) Из равенства ∆BOC= ∆ DOA

следует равенство соответственных углов, т.е.

< ОBC=<ADО;

< DAО=<ОCВ;

Из равенства углов < ОBC=<ADО;

следует равенство соответственных углов, т.е.

< ABC=<ADC - что и требовалось доказать.