Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює h , а двогранний кут при ребрі основи - (гама) . Знайдіть площу поверхні сфери, вписаної в цю піраміду.

Пусть C и C′ - длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.

Pn и Pn′ - их периметры, an и an′ - стороны.

Pn = n • an = n • 2R • Sin

Pn′ = n • an = n • 2R′ • Sin

Тогда 

Зная, что периметры Pn и Pn′ - приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем

  

Но в силу равенства получаем 

По свойству пропорции 

Значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.

Формула длины окружности:

***

 

Задача 124.

Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

Если C = 82, то радиус окружности R == = 13,1

Если C = 18π, то радиус окружности R == = 9

***

 

Задача 125.

Дано:

a - сторона правильного треугольника

 

Найдите: длину описанной окружности

Т.к. сторона правильного многоугольника

an = 2R • Sin (), тогда сторона правильного треугольника

a = R  R = 

Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR = 

***

 

Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α.

Градусная мера окружности 360°,

Длина окружности C = 2πR

Длина дуги в 1° равна 

 

 

Тогда длина дуги окружности в α градусах:

 

 

 

***

 

Задача 126.

Дано:

радиус R= 6 см,

угол дуги

1) α = 30°2) α = 45°3) α = 60°4) α = 90°

 

Найти: длину дуги окружности

1) L = • 30° = • 30° = π (см)

2) L = • 45° = • 3 = 1,5π (см)

3) L = • 60° = 2π (см)

4) L = • 90° = 3π (см)

***

 

Задача 127.

Дано:

ABCDEF - правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника S6 = 24 см2

 

Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?

C = 2πR

Значит, нужно найти радиус описанной окружности.

Площадь шестиугольника определяется по формуле

S6 = • P6 • r6

Радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6 = R • Cos  = • R

Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R

Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 • a6 = 6R (см)

S6 = • P6 • r6 = • 6R • • R = 1,5•R2

24= 1,5•R2

R2 = = 16  Получаем радиус описанной окружности

R = = 4 (см)

Тогда длина описанной окружности равна

C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)

ответ: 8π см.

***

 

Задача 128.

Дано:

ABCD - квадрат,

сторона квадрата AB = a

 

Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?

r4 = R • Cos  = R • Cos 45° = R

C = 2π • r = 2π • R = π • R

AB = a = 2r = R. Значит, C = π • R= π • a

ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a

***

 

Задача 129.

Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур

1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;

a, b – катеты

2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) ABCD – вписанный прямоугольник,

BC = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

 

Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?

1)

2R = AB  R = AB

AB = 

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

C = 2π •  • = π

 

2)

BH = = 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

SΔABC = BH • AC =  (1)

Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

SΔABC =  =  (2)

 

Используя равенства (1) и (2), получаем

=  R = 

1) CD = 13 см
DE = r = 5 см

DG = DE = DF = 5 см – как радиусы вписанной окружности

Рассмотрим ∆ CDF (угол CFD = 90°):
По теореме Пифагора:
CD² = DF² + CF²
CF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
CF = 12 см

2) Рассмотрим ∆ CBE (угол СЕВ = 90°):
По теореме касательных к окружности, проведённых из одной точки
BD – биссектриса угла ABC

По свойству биссектрисы:
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам →

CD/ DE = CB/ BE = 13 / 5

Пусть FB = BE = x , как отрезки кательных к окружности, проведённых из одной точки →

CB / BE = 13 / 5

( 12 + x ) / x = 13 / 5

13x = 5 × ( 12 + x )
13x = 60 + 5x
13x – 5x = 60
8x = 60
x = 60/8 = 7,5 см

Значит, FB = BE = 7,5 см

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки →

CG = CF = 12 см
GA = AE = 7,5 см

P abc = AC + CB + AB = 12 + 7,5 + 12 + 7,5 + 7,5 + 7,5 = 24 + 30 = 54 см

ОТВЕТ: P abc = 54 см.