Більша бічна сторона описаної прямокутної паперів дорівнює c, а гострий кут дорівнює а. (альфа) доведіть, зо середня лінія трапеції дорівнює с(1+sina) - 2

На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы 

l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)

Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.

  

По условию

5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2; 

АВ/ВС = 10/6 = 5/3.

Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).

Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).

Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим

ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);

Аналогично для треугольника АВС

BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);

Делим одно на другое, получаем

ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);

Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)

ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);

KL/BK = a/(a + c); 

При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;

 

Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2. 

В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;

Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду

KL/BK = 1/(2*k + 1);

при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) =  1/(8/3) = 3/8; 

 

В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник.  Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).

Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;

KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;

Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.

 

 

 

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Поскольку квадрат - частный случай параллелограмма, он обладает всеми пятью свойствами параллелограмма:
1. Сумма углов при соседних вершинах квадрата  равна 180°.
2. Диагональ квадрата разбивает его на два равных треугольника.
3. У квадрата противоположные стороны равны.
4. У квадрата противоположные углы равны.
5. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Так как квадрат частный случай прямоугольника, то он обладает и его свойством:
6. Диагонали квадрата равны.
Так как квадрат частный случай ромба, он обладает и двумя свойствами ромба:
7. Диагонали квадрата перпендикулярны.
8. Диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов.

Признаки квадрата:
1. Если в ромбе диагонали равны, то это квадрат.
2. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то это квадрат.