Билет №1 1. признаки параллелограмма. 2. построение треугольника по трем сторонам. 3. по теме: «подобие фигур». билет №2 1. ромб. теорема о диагоналях ромба. 2. построение биссектрисы угла. 3. по теме: « вписанная окружность». билет №3 1. свойства параллелограмма. 2. равенство прямоугольных треугольников (доказательство одной теоремы по выбору) 3. по теме: « углы в окружности» билет №4 1. прямоугольник. теорема о диагоналях прямоугольника. 2. деление отрезка пополам, на n – равных частей. 3. по теме: «векторы». билет №5 1. теорема о площади прямоугольного треугольника. 2. построение угла равного данному. 3. по теме: «решение треугольников» билет №6 1. теорема о площади параллелограмма. 2. окружность, ее элементы. взаимное расположение прямой и окружности. 3. по теме: «биссектриса внутреннего угла треугольника». билет №7 1. теорема фалеса. 2. скалярное произведение векторов, его свойства. 3. по теме: «многогранники». 4. билет №8 1. средняя линия треугольника. теорема о средней линии треугольника. 2. аксиомы стереометрии. 3. по теме: «окружность и многоугольники». билет №9 1. вывод формулы площади треугольника: s = ▪ ah 2. следствие из аксиом стереометрии (доказательство одного по выбору). 3. по теме: «прямоугольный треугольник». билет №10 1. трапеция. теорема о средней линии трапеции. 2. свойство биссектрисы треугольника. 3. по теме: « на построение». билет №11 1. теорема о точке пересечения медианы треугольника. 2. нахождение значений синуса, косинуса, тангенса угла в 450. 3. по теме: «описанная окружность». билет №12 1. теорема о площади прямоугольника. 2. касательная к окружности, ее свойство. 3. по теме: «элементы треугольника». билет №13 1. площадь трапеции (теорема). 2. нахождение значений синуса, косинуса, тангенса угла в 600. 3. по теме: «параллельность плоскостей». билет №14 1. теорема пифагора. 2. взаимное расположение прямых в пространстве. 3. по теме: «комбинации окружностей». билет №15 1. теоремы о пропорциональных отрезках прямоугольного треугольника (доказать одну по выбору). 2. взаимное расположение прямой и плоскости. 3. по теме: «прямоугольник, квадрат». билет №16 1. теорема синусов. 2. многогранники, виды многогранников. 3. по теме: « на построение». билет №17 1. теорема косинусов. 2. перпендикулярность прямой и плоскости. теорема о трех перпендикулярах. 3. по теме: «векторы». билет №18 1. равнобедренный треугольник, его свойства. 2. нахождение значений синуса, косинуса, тангенса угла в 300. 3. по теме: «пропорциональные отрезки в круге». билет №19 1. смежные, вертикальные углы, их свойства. 2. признаки подобия треугольников (доказательство одного по выбору). 3. по теме: «комбинации окружностей». билет №20 1. признаки равенства треугольников (доказательство одного по выбору). 2. зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружностей. 3. по теме: «подобие». билет №21 1. свойство катета, лежащего против угла в 300. 2. теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей. 3. по теме: «правильные многоугольники». билет №22 1. треугольник. теорема о сумме внутренних углов треугольника. 2. длина окружности. 3. по теме: «трапеция». билет №23 1. параллельные прямые. признаки параллельности двух прямых (доказательство одного по выбору). 2. вывод формулы площади треугольника s = 1 a b sin c 3. по теме: «элементы треугольника». билет №24 1. свойства равнобедренного треугольника, теорема о медиане, проведенной к основанию. 2. площадь круга. 3. по теме: «ромб». билет №25 1. внешний угол треугольника. теорема о внешнем угле треугольника. 2. круговой сектор и сегмент, их площади. 3. по теме: «площади треугольников».
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.