Через вершину А трикутника ABC проходить пряма m., що не лежить у площині трикутника. На прямій m позначені точки Р К так, що АР-АК, РС-Кс, РВ-Вк. Доведіть, що пряма т перпендикулярна до площини ABC.

Находим длины сторон по формуле расстояния между двумя точками.

Координаты векторов сторон      

АВ (c)          BC (a)          AС (b)  

x y           x    y             x   y  

9 7         -6    2          3    9  

     

Длины сторон  АВ (с) =  81  49  √130 = 11,40175425

                          BC (а) =   36  4  √40 = 6,32455532

                         AC (b) =    9  81  √90  = 9,486832981

Периметр Р =  27,21314255.

Если периметр выражать в корнях, то надо их упростить.

√130 + √40 + √90 = √13*√10 + 2√10 + 3√10.

Далее можно в двух вариантах:

Р = √13*√10 + 5√10 или

      √10 (√13 + 5).

1) СН = 17: 2 = 8,5 ( см) т. к медиана опушенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы ( АВ)
2) АВ=7,8 + 7,8= 15,6(см) т.к катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы следовательно гипотенуза АВ равна 15,6 см
3) УГОЛ А = 180 - ( 60 +90) = 30 ГРАДУСОВ. ( сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам)
4)угол К = 180 - (60 +90 ) = 30 ГРАДУСОВ СЛЕДОВАТЕЛЬНО КАТЕТ MF  ЛЕЖАЩИЙ ПРОТИВ УГЛА В 30 ГРАДУСОВ РАВЕН ПОЛОВИНЕ ГИПОТЕНУЗЫ KF  MF= 19 : 2 = 9,5 ( СМ)
5) ТРЕУГОЛЬНИК АСВ равнобедренный т.к АС =СВ  следовательно угол А= УГЛУ В . Угол С = 90 следовательно  угол А и В =(180- 90 ): 2= 45 градусов.
6) угол = 180 - (78 + 90) = 12 градусов
7) АС( катет 16 см) равен половине гипотенузы АВ ( 32 см) следовательно угол В лежащий  против катета равного половине  гипотенузы равен 30 градусов
8)АС = АВ : 2 т.к катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
   АС = 712 : 2 = 356 ( СМ)
9) (180 - 90 ) : 4 + 5= 10 градусов одна часть 
угол А =  10 *4 = 40 ГРАДУСОВ
УГОЛ В = 10 * 5=50 градусов