Через вершины A и C треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC . Они пересекают прямые CB и BA в точках K и M соответственно. Найдите длину AB, если BM=8 см KC=1 см и AB>BC.

Pabcd = 40 дм.

Объяснение:

Прямоугольные треугольники DAM и BAN равны по гипотенузе и острому углу (гипотенузы DA и АВ -  стороны ромба, ∠D = ∠B как противоположные углы ромба). Следовательно, ∠DAM = ∠BAN, а так как диагональ АС ромба делит ∠DAB пополам (свойство), то ∠MAC = <NAC = 30°. Тогда в прямоугольных треугольниках MAC и NAC ∠АСМ = ∠ACN = 60° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника). Тогда угол ∠С ромба равен 120°, а ∠D = 60° (по сумме углов ромба, прилегающих к одной стороне).

В прямоугольном треугольнике DAM ∠ADM = 60°, ∠DAM=30°.

Против угла 30° лежит катет DM = 5 дм. Тогда гипотенуза DA (сторона ромба) равна 10 дм, а периметр ромба равен

10·4 = 40 дм.

ответ:  S ABCD = 168 см²,  S MNKP = 182 см².

Объяснение:

1. Пусть дан параллелограмм ABCD.

AK - высота, проведённая к основанию DC, равна 12 см.

DC - основание параллелограмма, равное 14 см.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена высота.

⇒ S ABCD = AK · DC = 12 · 14 = 168 см².

2. Пусть дан параллелограмм MNKP.

MP = 14 см, MN = 26 см, ∠PMN = 150°.

MN || PK (по свойству параллелограмма).

∠PMN + ∠MPK = 180°, т.к. односторонние при MN || PK и секущей MP.

⇒ ∠MPK = 180° - 150° = 30°

Проведём из точки M к основанию PK данного параллелограмма высоту MB. Образовался прямоугольный ΔMBP (∠MBP - прямой).

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ MB = 1/2MP = 1/2 · 14 = 7 см.

MN = PK = 26 см (по свойству параллелограмма).

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена высота.

⇒ S MNKP = MB · PK = 7 · 26 = 182 см².