Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром BD. Прямая, проходящая через середины M и O диагоналей AC и BD, пересекает прямые AB и AD в точках X и Y соответственно. Точки P и Q — основания перпендикуляров из точки C на прямые AB и AD соответственно. Выберите на картинке 4 точки: 3 вершины треугольника и точку, лежащую на описанной окружности этого треугольника такие, что на картинке есть 3 точки, лежащие на прямой Симсона выбранной точки относительно выбранного треугольника. Все 7 точек должны быть различны. Четвёрка точек должна быть отлична от точек A, B, C, D.
A
B
C
D
M
O
P
Q
X
Y

Известно, что в равнобедренном треугольнике высота является и медианой и биссектрисой, отсюда половина основания будет 10:2=5 см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет сторона равнобедренного треугольника, а катетами - высота и половина основания. Обозначим гипотенузу - х. По теореме Пифагора: х(в квадрате)= 5(в квадрате)+20(в квадрате), х(в квадрате)=25+400, х(в квадрате)=425, х=квадратный корень из 425. Он в принципе не извлекается, можно просто кое-что вынести из под корня... 

Треугольник был бы равнобедренным, если бы был прямоугольным. А он таковым не является. Решение: пусть угол А = 45 градусов, АВ = 10, АС = 12. Опустим высоту из вершины В, тогда треугольник АВН - прямоугольный и равнобедренный, значит угол АВН равен 90-45=45 градусов, и два квадрата катета (в данном случае это еще и высота треугольника АВС) в сумме дают 10^2=100, то есть 2ВН^2=100 => BH^2=50 => BH = корень из 50, а далее по формуле - полупроизведение высоты (корень 50) и основания (12), то есть (корень 50 *12)/2= 6 корней из 50 [ШЕСТЬ корней из ПЯТИДЕСЯТИ]