Дан параллелограмм abcd, в котором ab=4, ad=6, bd=5. в вершинах этого параллелограмма помещены массы: 3а, 5в, 1с, 5d. пусть z1-центр тяжести 3a, 5b, 5d; z2-центр тяжести 5b, 1c, 5d; z-центр тяжести 3a, 5b, 1c, 5d. найдите: а)z1z2 б)z1z

Решение: Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5D

точка О - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.

Значит

Z1-центр тяжести 3A, 10O

AZ1 :Z1O=10:3

AZ1 :AO=10:13

OZ1:AO=3:13

AZ1:AC=10:26=5:13

причем точка Z1 лежит на отрезке OA

Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D

точка О - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.

Значит

Z1-центр тяжести 1C, 10O

CZ2 :Z2O=10:1

CZ2 :CO=10:11

CZ2:AC=10:22=5:11

причем точка Z2 лежит на отрезке OC

Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D

точка О - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.

точка K - центр масс точек 1C,3A, она дежит на отрезке АС, причем

АК:КС=1:3

АК:АС=1:4

точка Z - центр тяжести 4K, 10O

ZK:ZO=10:4=5:2

ZK:KO=5:7

ZK:AO=5:14

OZ:AO=9:14

ZK:AC=5:28

AZ:AO=12/14=6/7

OZ:AO=1/7

По теореме косинусов

cos (ABD)=(-AD^2+AB^2+BD^2)/(2*AB*BD)

cos (ABD)=(-6^2+5^2+4^2)/(2*4*5)=5/40=1/8

АО^2=(AB^2+BO^2-2AB*BO*cos(ABD))=

=(4^2+2.5^2-2*4*2.5*1/8)=19.75

AC=2AO=2*1/2*корень(79)=корень(79)

Z1Z2=AC-AZ1-CZ2=(1-5/13-5/11)*корень(79)=

=23\143*корень(79)

Z1Z=AO-OZ1-AZ=(1-3/13-1/14)*корень(79)/2=127/364*корень(79)

з.ы.вроде так