Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла[2]. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.
Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n-мерной геометрии аналогом треугольника является n-й мерный симплекс.
Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным Вершины и углы
Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C {\displaystyle A,B,C} , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: A B = c ; B C = a ; C A = b . {\displaystyle AB=c;BC=a;CA=b.}
Треугольник Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} имеет следующие углы:
угол ∠ A = ∠ B A C {\displaystyle \angle A=\angle BAC} — угол, образованный сторонами A B {\displaystyle AB} и A C {\displaystyle AC} и противолежащий стороне B C {\displaystyle BC} ;угол ∠ B = ∠ A B C {\displaystyle \angle B=\angle ABC} — угол, образованный сторонами A B {\displaystyle AB} и B C {\displaystyle BC} и противолежащий стороне A C {\displaystyle AC} ;угол ∠ C = ∠ A C B {\displaystyle \angle C=\angle ACB} — угол, образованный сторонами B C {\displaystyle BC} и A C {\displaystyle AC} и противолежащий стороне A B {\displaystyle AB} .
Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).
Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине
Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0 до 180°.
Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.
По величине углов
Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников[2]:
Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. По числу равных сторонРазносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Медианы, высоты, биссектрисыОсновная статья: Замечательные прямые треугольника Основная статья: Замечательные точки треугольника Медианы в треугольнике
Решение: 1) Проведём высоту. Получился прямоугольный треугольник. 2) Сумма углов в треугольнике равна 180°(градусов). Два угла нам уже даны: угол 60° и угол 90°. Найдём чему равен третий: 180°- (60°+90°)=30° 3) По свойству углов в прямоугольном треугольнике сторона (катет) лежащая напротив угла в 30° равна половине гипотенузы. Гипотенуза нам уже дана, она равна 2 см. Значит катет напротив угла в 30° равен 1 см. 4) Проведём ещё одну высоту в трапеции и получим точно такой же прямоугольный треугольник. Длина большого основания трапеции нам дана. Значит можем найти маленькое основание. Для этого вычтем из длины большого катеты (основания) треугольников: 7,5 см - 1 см - 1 см =5,5 см. 6) Теперь найдём периметр трапеции. Формула: Р=а+b+с+d Р= 5,5 см+ 2 см + 7,5 см + 2 см=17 см. ответ: 17 см.
Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла[2]. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.
Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n-мерной геометрии аналогом треугольника является n-й мерный симплекс.
Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденнымВершины и углы
Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C {\displaystyle A,B,C} , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: A B = c ; B C = a ; C A = b . {\displaystyle AB=c;BC=a;CA=b.}
Треугольник Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} имеет следующие углы:
угол ∠ A = ∠ B A C {\displaystyle \angle A=\angle BAC} — угол, образованный сторонами A B {\displaystyle AB} и A C {\displaystyle AC} и противолежащий стороне B C {\displaystyle BC} ;угол ∠ B = ∠ A B C {\displaystyle \angle B=\angle ABC} — угол, образованный сторонами A B {\displaystyle AB} и B C {\displaystyle BC} и противолежащий стороне A C {\displaystyle AC} ;угол ∠ C = ∠ A C B {\displaystyle \angle C=\angle ACB} — угол, образованный сторонами B C {\displaystyle BC} и A C {\displaystyle AC} и противолежащий стороне A B {\displaystyle AB} .Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).
Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершинеВнешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0 до 180°.
Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.
По величине угловПоскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников[2]:
Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. По числу равных сторонРазносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Медианы, высоты, биссектрисыОсновная статья: Замечательные прямые треугольника Основная статья: Замечательные точки треугольника Медианы в треугольнике1) Проведём высоту. Получился прямоугольный треугольник.
2) Сумма углов в треугольнике равна 180°(градусов). Два угла нам уже даны: угол 60° и угол 90°. Найдём чему равен третий:
180°- (60°+90°)=30°
3) По свойству углов в прямоугольном треугольнике сторона (катет) лежащая напротив угла в 30° равна половине гипотенузы. Гипотенуза нам уже дана, она равна 2 см. Значит катет напротив угла в 30° равен 1 см.
4) Проведём ещё одну высоту в трапеции и получим точно такой же прямоугольный треугольник.
Длина большого основания трапеции нам дана. Значит можем найти маленькое основание. Для этого вычтем из длины большого катеты (основания) треугольников: 7,5 см - 1 см - 1 см =5,5 см.
6) Теперь найдём периметр трапеции. Формула: Р=а+b+с+d
Р= 5,5 см+ 2 см + 7,5 см + 2 см=17 см.
ответ: 17 см.