В угол можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Центр вписанной в угол ВСД окружности лежит на биссектрисе СР Центр вписанной в угол СДА окружности лежит на биссектрисе ДР Т.к. точка Р для биссектрис углов ВСД и СДА общая - она является центром вписанной в оба угла окружности. Расстояние от центра вписанной в угол окружности до его сторон равно ее радиусу. Расстояние из Р до прямых ВС, СД, АД - перпендикуляр и равно радиусу этой окружности. Вариант решения: Расстояние от точки до прямой - отрезок, проведенный к ней перпендикулярно. ОК, ОМ, ОН - перпендикуляры к прямым ВС, СD, AD соответственной. Прямоугольные ∆ СКО=∆СМО по равному острому углу при С и общей гипотенузе ОС. ⇒ КО=ОМ Прямоугольные ∆ НОD=∆ MOD по равному острому углу при D и общей гипотенузе OD. ⇒ НО=ОМ КО=ОМ, НО=ОМ⇒ КО=ОН=ОМ, что и требовалось доказать.
Строить очень просто: На прямой а откладываем циркулем основание АВ, замерив его циркулем же по данному отрезку. На этой же прямой откладываем еще один отрезок ВD (продолжение первого). Длина АD в 2 раза больше основания. Теперь раствором циркуля, равным двум отрезкам основания (АD), из концов первого отрезка А и В (основания) делаем засечки с одной стороны от основания. Пересечение этих засечек (дуг) дает нам точку С - вершину искомого треугольника. Соединяем по линейке три точки. Полученный треугольник АВС - искомый.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Центр вписанной в угол ВСД окружности лежит на биссектрисе СР
Центр вписанной в угол СДА окружности лежит на биссектрисе ДР
Т.к. точка Р для биссектрис углов ВСД и СДА общая - она является центром вписанной в оба угла окружности.
Расстояние от центра вписанной в угол окружности до его сторон равно ее радиусу. Расстояние из Р до прямых ВС, СД, АД - перпендикуляр и равно радиусу этой окружности.
Вариант решения:
Расстояние от точки до прямой - отрезок, проведенный к ней перпендикулярно.
ОК, ОМ, ОН - перпендикуляры к прямым ВС, СD, AD соответственной.
Прямоугольные ∆ СКО=∆СМО по равному острому углу при С и общей гипотенузе ОС. ⇒
КО=ОМ
Прямоугольные ∆ НОD=∆ MOD по равному острому углу при D и общей гипотенузе OD. ⇒
НО=ОМ
КО=ОМ, НО=ОМ⇒
КО=ОН=ОМ, что и требовалось доказать.
Полученный треугольник АВС - искомый.