Дана пирамида SABC, где SA - высота. Точка Н - основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на ребро AB. Точка К- основание перпендикуляра, опущенного из точки Н на ребро SB. Найди длину отрезка ВК, если SС= 12, SK = 9 ,площадь BCS= 10√63.

У задачи два варианта решения, соответственно, есть два варианта ответов. 

Так как в условии не указано, пересекаются ли биссектрисы, 

Вариант 1)

Биссектрисы не пересекаются. По условию ВК=КF=FC 

Угол ВКА=углу КАD - накрестлежащие. 

Угол КАD=КАВ по условию. ⇒

Углы при основании АК треугольника АВК равны, ∆ АВК равнобедренный, АВ=ВК. Аналогично доказывается СD=CF. 

Примем 1/3 ВС=а

Тогда АВ=CD=a, BC=AD=3a

P=8a

8a=88 см

a=11 см ⇒ 

AB=CD=11см

BC=AD=33 см

Вариант 2)

Биссектрисы пересекаются.  По условию ВF=FK=KC

В треугольнике АВК угол ВКА=углу КАD – накрестлежащие. 

Угол КАD=КАВ по условию. Углы при основании АК треугольника АВК равны,⇒ 

∆ АВК равнобедренный, АВ=ВК. Аналогично доказывается СD=CF. 

Пусть 1/3 ВС=а

Тогда АВ=СD=2a, BC=AD=3a

P=AB+BC+CD+DA=10a

10а=88

а=8,8 см⇒

АВ=CD=17,6 см

BC=AD=26,4

Это задача на части. Мы знаем, что сумма смежных углов равна 180 град. Если по условию СВД= 2/7 ABC. то приняв АВС за 1, найдем решение в частях и получим ответ, не находя величин углов.
Итак, АВС=1, СВД=2/7, зная, что АВД=180, получим:
АВД=1+2/7=9/7=9*1/7=180  Отсюда 1/7 часть =20 градусов
Так как FB - перпендикуляр, то его величина равна 90 градусов. Исходя из того, что 1/7=20 градусов, то ABF=4.5* 1/7
АВЕ-биссектриса угла АВС, тогда она равна 1/2 (мы приняли АВС за 1), так как 1/2=1/7*7/2=3.5*1/7. то АВЕ=3.5* 1/7
Найдем наш искомый угол FBE=АВF-ABE=4.5*1/7-3.5*1/7=1*1/7=20 градусов