Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1 в которой H1-
основание высоты С1H1, прямоугольного треугольника А1В1С1
с гипотенузой А1В1. Найдите тангенс угла C1CH1, если боко-
вое ребро СС1 равно 24, а катеты треугольника равны 7 и 24.
С рисунком и решением

Грань АА1С1С - квадрат. 

АС по т.Пифагора равна 20. В призме все боковые ребра равны. ⇒ ВВ1=СС1=АА1=АС=20.

По условию боковые ребра пирамиды АВ1СВ равны, значит, их проекции равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около основания АВС. ⇒

Вершина пирамиды В1 проецируется в центр Н описанной около прямоугольного треугольника окружности, т.е. лежит в середине гипотенузы. 

∆ АВС прямоугольный, R=АС/2=10. 

АН=СН=ВН=10. 

Высота призмы совпадает с высотой В1Н пирамиды.

По т.Пифагора 

В1Н=√(BB1²-BH²)=√(20²-10²)=√300=10√3

Формула объёма призмы

 V=S•h где S - площадь основания, h - высота призмы. 

S-12•16:2=96 (ед. площади)

V=96•10√3=960√3 ед. объёма.

По условию секущая плоскость параллельна плоскости КМТ. 

Точки А и В лежат в плоскости грани МРТ и являются серединами сторон МР и ТР треугольника МТР. 

Следваоетльно, прямая АВ параллельна МТ. 

Из т.В проведем прямую ВС параллельно КТ.  

ВС - средняя линия ∆ КТР. 

С- середина КР,  АС - средняя линия ∆ МКР и параллельна МК. 

Две пересекающиеся прямые АВ и МС плоскости АВС  параллельны  двум пересекающимся прямым МТ и ТК плоскости МКТ. Это признак параллельности плоскостей, следовательно, АВС - искомое сечение.