Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1 точки О и О1 – точки пересечения высот этих треугольников, причем ОА= О1А1 . Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

1) B=D=126°(как внутренне накрест лежащие):Сумма всех углов параллелограмма равна 360°,следовательно угол A+C=360°-(126°+126°)=108°, угол А=108°/2=54°,угол А=углу С=54°

2)P=36см,к пример сторону 1 и 3 примем за 1х+1х,стороны 2 и 4 за 2х+2х,сумма всех сторон равна : 6х=36,из этого х=6,дальше :сторона 1 равна 1х=6,сторона 2 равна 2х=12,сторона 3=стороне 1,а сторона 4= стороне 2

3)P=40дм=400см,у параллелограмма сторона 1=стороне 3,а сторона 2=стороне 4,следовательно: сторона 1=3х,2=2х,сторона 1=3,сторона 2=4

сумма всех сторон равна 400см=10х,х=40.Сторона 1 равна 120см,сторона 3 =стороне 1=120см,сторона 2 равна 80см,сторона 4=стороне 2=80см

4)Сумма углов параллелограмма=360°,из этого следует что угол D=360°-237°=123°,угол В=углу D=123° (как накрест лежащие),угол А+С=237°-123°=114°,угол А=114°/2=57°,угол С=углу А=57°

 Сумма противолежащих  углов вписанного четырехугольника равна 180°. Четырехугольник АВСD - вписанный, ⇒ ∠ВАD+∠BСD=180°. Угол ВАL - развернутый. Сумма смежных углов равна 180°. ⇒ ∠BАD +∠LAD =180°.   На приложенном рисунке  ∠ LAD обозначен как 1, а ∠KCD – 2. Следовательно, угол С =∠1.

 Рассмотрим треугольники АLD и СКD. Вертикальные  углы при D равны – Вычтя их из суммы углов треугольника, получим <1+<L=<2+<K. По условию <K-< L=60°. ⇒ ∠К=60°+<L Заменим в предыдущем уравнении угол К найденным значением: ∠1+∠L=<2+60°+∠L, откуда ∠1=∠2+60°. Равный углу 1 ∠С=∠2+60° , ⇒ ∠2=∠С-60°, поэтому ∠С-60°+∠С=180°,  ⇒ 2С=240°, ∠С=120° и, следовательно, угол ВАD=60°