Диагональ AC трапеции ABCD делит её среднюю линию КМ на 2 части, причём KO :OM = 2:3. Найди основание трапеции AD, если ВС = 40.
​

Дано: тр. EKF - прямоугольный(угол E - 90 градусов)? ЕК = 9, EF = 12, EL = 12, EL - высота.

Найти: EL

Если катеты равны 9 см и 12 см, то гипотенуза = 15 см по теореме Пифагора.  

Дальше воспользуемся двумя формулами площади треугольника.  

S = (9 * 12) / 2 = (половина произведения катетов)  

но есть и другая формула:  

S = (15 * EL) / 2 = (половина произведения стороны на высоту, проведенную к ней)  

Так как площадь-то одна, приравняем:  

(9 * 12) / 2 = (15 *EL) / 2  

9 * 12 = 15 * EL

искомая высота = (9 * 12) / 15 = 7.2

ответ: 7.2

Точка N лежит на серединном перпендикуляре к AD, следовательно равноудалена от концов отрезка.

△AND - равнобедренный, DAN=ADN

DAN =A/2 +NAC

ADN =A/2 +B (внешний угол △BAD)

=> NAC =B =∪AC/2

Угол между прямой NA и хордой AC равен половине дуги, стягиваемой хордой, следовательно NA является касательной.

Докажем этот признак для острого угла NAC.

NAC =∪AC/2 =AOC/2 =AOH

△AOC - равнобедренный, OH - биссектриса и высота

OAH =90-AOH =90-NAC => OAN =OAH+NAC =90

Прямая NA перпендикулярна радиусу OA, следовательно является касательной.  

Для тупого угла как для смежного с NAC:

180-NAC =(360-∪AC)/2 => NAC=∪AC/2, далее по доказанному.