Диаметры ab и cd данного круга взаимно перпендикулярны. на дуге acb взяты произвольные точки p и q, а внутри круга проведена дуга ab окружности с центром в точке d. хорды dp и dq пересекаются с этой дугой соответственно в точках m и n, точки p1 и q1 - основания перпендикуляров, проведённых из точек p и q к прямой ab. докажите, что площадь криволинейного четырёхугольника pqnm равна площади треугольника dp1q1
На чертеже видно, что площадь NMPC равна
Snmpc = Sdpc - Sdpn;
Имеются ввиду фигуры с указанными вершинами, ограниченные линиями, присутствующими на чертеже. К примеру, Sdpn - это площадь сектора окружности с центром в точке D. Радиус этой окружности DB = R√2; где R = OC; - радиус окружности с центром в точке О.
Фигура DPC радиусом OP делится на равнобедренный треугольник DOP и сектор меньшей окружности POC.
Если принять ∠POC = α, то ∠MDN = α/2;
Если угол α измеряется в радианах, то в общем случае площадь сектора круга равна R^2*α/2 (если α = 2π; то получается площадь круга π*R^2)
Поэтому Snmpc = Sdpo + Spoc - Sdpn =
= R^2*sin(π - α)/2 + R^2*α/2 - (R√2)^2*(α/2)/2 = R^2*sin(α)/2;
Поскольку высота PH = R*sin(α) = P1O (см. условие задачи про точку P1), то всё доказано.
Sdpo = Sdp1o;
Если точка Q не совпадает с C, то это просто означает
Sdpq = Sdpo + Sdqo (или минус, в зависимости от того, где точка Q)