Прямая может пересекать плоскость, лежать в плоскости или быть параллельной ей.
Если a║β, то a⊂α или a║α т.к. α║β.
Если a⊂β, то a║α т.к. α║β.
При возможный вариантах прямая a не пересекает плоскость α, получается противоречие, то есть такие условия не возможны. Остаётся только одно возможное взаимное расположение: a∩β. Доказано.
Дано: a∩α; α║β.
Д-ть: a∩β.
Д-во:
Прямая может пересекать плоскость, лежать в плоскости или быть параллельной ей.
Если a║β, то a⊂α или a║α т.к. α║β.
Если a⊂β, то a║α т.к. α║β.
При возможный вариантах прямая a не пересекает плоскость α, получается противоречие, то есть такие условия не возможны. Остаётся только одно возможное взаимное расположение: a∩β. Доказано.