ДОПИСАТЬ КОНТРОЛЬНУЮ ❗❗❗❗❗ Дано коло, радіус OF якого перпендикулярний до хорди CD. Знайдіть кут CDF, якщо кутCOD=100градусів
Перевод на русский
Даны окружность, радиус OF которого перпендикулярен к хорде CD. Найдите угол CDF, если кутCOD = 100 градусов

Задано Вершини трикутника ABC A(-5,1), B(3,-2), C(3,4).  

Знайти:

1) Координати описаного кола. Это задание надо, скорее всего, понимать так: найти уравнение окружности, описанной около треугольника АВС.

Для этого надо определить координаты центра этой окружности и найти её радиус.

Решение возможно по нескольким вариантам.

Вот один из них.

Центр описанной окружности находится как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Есть формула, по которой сразу определяется уравнение серединного перпендикуляра по координатам вершин:

(x_1-x_2 )(x-(x_1+x_2)/2)+(y_1-y_2 )(y-(y_1+y_2)/2)=0.

Находим уравнение серединного перпендикуляра к стороне АВ.

Подставим координаты вершин А и В.

(-5-3)(x – ((-5+3)/2) + (1-(-2))(y – (1+(-2))/2) = 0,

-8(x + 1) + 3(y + (1/2)) = 0,

-8x – 8 + 3y + (3/2) = 0, умножим на (-2) и получаем уравнение:

16х – 6у + 13 = 0.

Второй перпендикуляр определяется просто, так как сторона ВС,  имеющая точки с одинаковыми абсциссами, - это вертикальный отрезок прямой х = 3 между ординатами у = -2 и у = 4.

Середина её равна у = (-2+4)/2 = 1.

Значит, серединный перпендикуляр к стороне ВС – это горизонтальная прямая у = 1.

Находим их точку пересечения, подставив в уравнение первой прямой значение у = 1:

16х – 6*1 + 13 = 0, отсюда х = -7/16.

Получены координаты центра описанной окружности: О((-7/16); 1).

Далее надо найти радиус окружности.

Он равен расстоянию от центра окружности до любой вершины.

Находим R = OA = √((-5-(-7/16))² + (1-1)²) = 73/16 = 4,5625.

ответ: уравнение окружности (x + (7/16))² + (y – 1)² = (73/16)².

2) косинус кута BAC.

Находим векторы АВ и АС.

AB = {Bx - Ax; By - Ay} = {3 – (-5); -2 - 1} = {8; -3},

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay} = {3 – (-5); 4 - 1} = {8; 3}.

Модули векторов равны:

|AB| = √(ABx2 + ABy2) = √(82 + (-3)2) = √(64 + 9) = √73,

|AC| = √(ACx2 + ACy2) = √(82 + 32) = √64 + 9 = √73.

ответ: cos(AB_AC) = (8*8 + (-3)*3)/(√73*√73) = 55/73  ≈ 0,7534.

Угол А равен  0,7175 радиан или 41,1121  градуса.

3) Координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні до 2:3.

Для этого задания применяется формула:

x(D)=(x(B) + λ*x(C))/(1 + λ), где λ – отношение длин отрезков.

Получаем: x(D)=(3 + (2/3)*3)/(1 + (2/3)) = 3.

                  y(D)=(-2 + (2/3)*4)/(1 + (2/3)) = 2/5 = 0,4.

ответ: точка D(3; 0,4).

ответ: 1. 10

2. 18

3. Основания 14 и 22. Периметр 64.

Объяснение:

1. Используем теорему о пропорциональных отрезках (если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне).

Составляем пропорцию: 3/6 = 5 /х,откуда х = 5*6 / 3 = 10

2. Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок, соединяющий середины его сторон P и M, это средняя линия данного треугольника, она равна половине его основания, т.е. 1/2 диагонали АС. Аналогично для треугольника BCD отрезок MN это средняя линия, и он также равен полочине основания, т.е. диагонали BD.

Рассуждая аналогично для треугольников ACD и ABD находим, периметр MNPQ = 1/2 * АС + 1/2 АС + 1/2 BD + 1/2 BD = AC + BD = 18

У четырехугольника MNPQ противоположные стороны равны и параллельны (По свойству средних линий рассмотренных выше треугольников), значит он является параллелограммом по определению.

3. Рассмотрим ΔABC. ∠BCA =∠ CAD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых, ∠BAC = ∠CAD по условию задачи. Вывод: ∠BAC = ∠BCA, а это углы при основании AC ΔABC. ⇒ Данный треугольник равнобедренный. KM является его средней линией. ⇒ AB = BC = 14.

KL = 7 + 4 + 7 = 18. Поскольку это по условиям задачи среджняя линия трапеции, она равна полусумме оснований трапеции. Находим большее основание:

1/2 AD + 1/2BC = 18

1/2AD + 7 = 18

AD = 22

Периметр трапеции равен 22 + 14 + 14 + 14 = 64