Если рассуждать логически то если точка p лежит внутри треугольника. То площадь каждого треугольника в 3 раза меньше площади ABC. Тогда если провести высоты из точки p на стороны и высоты данного треугольника. То высота треугольника на данную сторону в 3 раза больше маленькой высоты на данную сторону. То из теоремы Фалеса следует. Что точка P лежит на отрезке паралельном стороне треугольника и делящем боковые стороны в отношении 2:1 cчитая от вершины. Другими словами она находится в точке пересечения отрезков параллельных основаниям и делящим другие стороны в отношении 2:1 ,считая от противолежащих вершин. НО в целом медианы тоже cекутся как 2:1. Поэтому из теоремы фалеса точка p1. Точка пересечения медиан. Что в принципе и следовало ожидать :) Если точка p лежит вне треугольника. То из рисунка видно что если S площадь нашего треугольника. S1-площади полученных. То 2S1-S1=S S1=S. То есть высоты равны. Точек лежащих вне треугольника всегда 3 лежащих за каждой из сторон треугольника. Точек лежащих на стыке сторон (на продолжениях высот треугольников нет тк S=S1-2S1<0 ) Из сказанного выше следует что для того чтобы найти эти 3 точки достаточно провести через каждую вершину треугольника прямую параллельную противолежащей стороне. Точки пересечения и дадут 3 данные точки. Таким образом точек всегда 4. Удачи :)
Треугольник АВС, AB = 12, AC = 10, BC = 14, высота СН. По теореме косинусов cos <BAC = (AB²+AC²-BC²)/(2AB*AC)=(144+100-196)/(2*12*10)=1/5. Из прямоугольного треугольника AHC находим АH = AC *cos<AC = 10*1/5 = 2. существует ровно два случая расположения точки М на стороне АС: 1) <AHM = <ABC. Тогда НM||BC, Δ AHM подобен ΔАBC с коэффициентом AH:AB = 2/12 = 1/6, следовательно, HM = BC * 1/6 = 14 * 1/6 = 7/3. 2) <AHM = <АCB. Тогда ΔАMH подобен ΔABC с коэффициентом AH:AC = cos <ВAC = 1/5, следовательно, HM = BC * 1/5 = 14*1/5 = 14/5. ответ: 7/3 и 14/5
НО в целом медианы тоже cекутся как 2:1. Поэтому из теоремы фалеса точка p1. Точка пересечения медиан. Что в принципе и следовало ожидать :)
Если точка p лежит вне треугольника. То из рисунка видно что если S площадь нашего треугольника. S1-площади полученных. То
2S1-S1=S S1=S. То есть высоты равны. Точек лежащих вне треугольника всегда 3 лежащих за каждой из сторон треугольника.
Точек лежащих на стыке сторон (на продолжениях высот треугольников нет тк S=S1-2S1<0 )
Из сказанного выше следует что для того чтобы найти эти 3 точки достаточно провести через каждую вершину треугольника прямую параллельную противолежащей стороне. Точки пересечения и дадут 3 данные точки. Таким образом точек всегда 4.
Удачи :)
По теореме косинусов
cos <BAC = (AB²+AC²-BC²)/(2AB*AC)=(144+100-196)/(2*12*10)=1/5.
Из прямоугольного треугольника AHC находим АH = AC *cos<AC = 10*1/5 = 2. существует ровно два случая расположения точки М на стороне АС:
1) <AHM = <ABC.
Тогда НM||BC, Δ AHM подобен ΔАBC с коэффициентом AH:AB = 2/12 = 1/6, следовательно, HM = BC * 1/6 = 14 * 1/6 = 7/3.
2) <AHM = <АCB.
Тогда ΔАMH подобен ΔABC с коэффициентом AH:AC = cos <ВAC = 1/5,
следовательно, HM = BC * 1/5 = 14*1/5 = 14/5.
ответ: 7/3 и 14/5