Дана правильная треугольная пирамида. Её высота Н равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания, равен 2a.
Найти: а) апофему А пирамиды.
Радиус R окружности, описанной около её основания, равен 2/3 высоты основания, то есть R = в√3/3, где в - сторона основания.
Находим сторону основания: в = R/(√3/3) = R√3 = 2a√3.
Отсюда апофема равна: А = √(Н² + (R/2)²) = √(3a² + a²) = √4a² = 2a.
Величина R/2 равна 1/3 высоты основания или радиусу вписанной окружности в основание.
б) угол α между боковой гранью и основанием равен:
α = arc tg(H/(R/2)) = arc tg(a√3/a) = arc tg√3 = 60 градусов.
в) площадь Sбок боковой поверхности.
Периметр основания Р = 3в = 3*2a√3 = 6a√3.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(6a√3)*2а = 6a²√3 кв.ед.
г) плоский угол γ при вершине пирамиды(угол боковой грани).
γ = 2arc tg((в/2)/А) = 2arc tg((2а√3/2)/2а) = 2arc tg(√3/2) ≈ 1,42745 радиан или 81,7868 градуса.
ищем полупериметр треугольника. (√5+√26+3)/2
Находим полупериметр минус сторона.
(√5+√26+3)/2-3=(√5+√26-3)/2
(√5+√26+3)/2-√5=(3+√26-√5)/2
(3+√5+√26)/2-√26=(3+√5-√26)2
Перемножим теперь эти выражения, а потом извлечем корень. Это и будет площадь.
Для простоты перемножим сначала
((√5+√26-3)/2))((√26+3-√5)/2)=
(1/4)*(√130+3√5-5+26+3√26-√130-3√26-9+3√5)=(6√5+12)/4=
6*(√5+2)/4=3*(√5+2)/2, (*)
ПОтом перемножим ((3+√5+√26)/2)((√5+3-√26)/2)=
(1/4)*(3√5+9-3√26+5+3√5-√130+√130+3√26-26))=
(6√5-12)/4=6*(√5-2)/4=3*(√5-2)/2 (**)
И наконец, перемножим ( * ) на (**)
получим (3/2)²((√5-2)(√5+2)=(3/2²)*(5-4)=(1,5)²
Теперь легко из этого произведения извлечь корень. Это будет 1,5
ЭТо и будет ответ на вопрос Вашей задачи.
ОТвет1,5
Дана правильная треугольная пирамида. Её высота Н равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания, равен 2a.
Найти: а) апофему А пирамиды.
Радиус R окружности, описанной около её основания, равен 2/3 высоты основания, то есть R = в√3/3, где в - сторона основания.
Находим сторону основания: в = R/(√3/3) = R√3 = 2a√3.
Отсюда апофема равна: А = √(Н² + (R/2)²) = √(3a² + a²) = √4a² = 2a.
Величина R/2 равна 1/3 высоты основания или радиусу вписанной окружности в основание.
б) угол α между боковой гранью и основанием равен:
α = arc tg(H/(R/2)) = arc tg(a√3/a) = arc tg√3 = 60 градусов.
в) площадь Sбок боковой поверхности.
Периметр основания Р = 3в = 3*2a√3 = 6a√3.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(6a√3)*2а = 6a²√3 кв.ед.
г) плоский угол γ при вершине пирамиды(угол боковой грани).
γ = 2arc tg((в/2)/А) = 2arc tg((2а√3/2)/2а) = 2arc tg(√3/2) ≈ 1,42745 радиан или 81,7868 градуса.
ищем полупериметр треугольника. (√5+√26+3)/2
Находим полупериметр минус сторона.
(√5+√26+3)/2-3=(√5+√26-3)/2
(√5+√26+3)/2-√5=(3+√26-√5)/2
(3+√5+√26)/2-√26=(3+√5-√26)2
Перемножим теперь эти выражения, а потом извлечем корень. Это и будет площадь.
Для простоты перемножим сначала
((√5+√26-3)/2))((√26+3-√5)/2)=
(1/4)*(√130+3√5-5+26+3√26-√130-3√26-9+3√5)=(6√5+12)/4=
6*(√5+2)/4=3*(√5+2)/2, (*)
ПОтом перемножим ((3+√5+√26)/2)((√5+3-√26)/2)=
(1/4)*(3√5+9-3√26+5+3√5-√130+√130+3√26-26))=
(6√5-12)/4=6*(√5-2)/4=3*(√5-2)/2 (**)
И наконец, перемножим ( * ) на (**)
получим (3/2)²((√5-2)(√5+2)=(3/2²)*(5-4)=(1,5)²
Теперь легко из этого произведения извлечь корень. Это будет 1,5
ЭТо и будет ответ на вопрос Вашей задачи.
ОТвет1,5