Внешний угол при вершине треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним. рассмотрим треугольник abc. угол свн - внешний угол при вершине, противоположной основанию. вм- биссектриса этого угла. она делит угол на два равных угла 1 и 2. так как внешний угол при в равен сумме внутренних углов а и с, а треугольник авс равнобедренный и углы при его основании равны между собой, все выделенные углы также равны между собой. углы под номером 1 -равные соответственные при прямых ас и вми секущей авуглы под номером 2 - равные накрестлежащие при прямых ас и вми секущей всесли при пересечении двух прямых третьей внутренние накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны.
ABCD - трапеция; AD - нижнее основание; BC - верхнее основание; O - точка пересечения диагоналей. EF проходит через точку O и параллельно основаниям. MN проходит через точку O и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. E∈AB; F∈CD; M∈BC; N∈AD Тр-к BOC подобен тр-ку AOD. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. Значит, AD:BC=3^:1; MO:ON=1:3; MO:MN=1:4; Пусть BC=x⇒AD=3x; MO=y;⇒ON=3y; MN=4y Площадь трапеции ABCD равна: S=1/2(AD+BC)*MO=1/2(x+3x)*4y=8xy Выразим через S площади BEFC и AEFD. Площадь AEFD равна сумме площадей AOFD и AEO. Рассмотрим тр-ки ACD и OCF. Они подобны. Их высоты относятся как 4:1, а площади как 16:1. Площадь ACD равна 1/2*3x*4y=6xy. Площадь OCF равна 1/16*6xy=3/8*xy. Площадь AOFD равна разности площадей ACD и OCF: 6xy-3/8*xy=45/8*xy Рассмотрим тр-ки ABC и AEO. Они подобны. Их высоты относятся как 4:3, а площади как 16:9. Площадь ABC равна 1/2*x*4y=2xy. Площадь AEO равна 9/16*2xy=9/8*xy. Площадь AEFD равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy Площадь BEFC равна разности площадей ABCD и AEFD: 8xy-27/4*xy=5/4*xy S(BEFC): S(AEFD)=5/4*xy:27/4*xy=5:27
Тр-к BOC подобен тр-ку AOD. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. Значит, AD:BC=3^:1; MO:ON=1:3; MO:MN=1:4;
Пусть BC=x⇒AD=3x; MO=y;⇒ON=3y; MN=4y
Площадь трапеции ABCD равна: S=1/2(AD+BC)*MO=1/2(x+3x)*4y=8xy
Выразим через S площади BEFC и AEFD.
Площадь AEFD равна сумме площадей AOFD и AEO.
Рассмотрим тр-ки ACD и OCF. Они подобны. Их высоты относятся как 4:1, а площади как 16:1. Площадь ACD равна 1/2*3x*4y=6xy. Площадь OCF равна 1/16*6xy=3/8*xy. Площадь AOFD равна разности площадей ACD и OCF:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
Рассмотрим тр-ки ABC и AEO. Они подобны. Их высоты относятся как 4:3, а площади как 16:9. Площадь ABC равна 1/2*x*4y=2xy. Площадь AEO равна 9/16*2xy=9/8*xy. Площадь AEFD равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
Площадь BEFC равна разности площадей ABCD и AEFD:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
S(BEFC): S(AEFD)=5/4*xy:27/4*xy=5:27