Так как по условию, точки М, К, Р середины отрезков АВ, ВД, ВС, то отрезок КМ средняя линия треугольника АВД, КР – средняя линия треугольника ВСД, МР – средняя линия треугольника АВС.
Отрезки средних линий параллельны основаниям треугольников: MK || АД, КР || СД, МР || АС, тогда и плоскость МКР параллельны плоскости АСД, что и требовалось доказать.
Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной стороны, тогда треугольник МКР подобен треугольнику АСД по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия К = АД / МК = АД / (АД / 2) = 2.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Пусть K - точка пересечения AM и BN. Для решения задачи достаточно найти BK. 1) Если предположить, что автор знаком с теоремой Чевы, а так же - с теоремой Ван-Обеля, то если продолжить CK до пересечения с AB в точке P, то AP/PB = AN/NC = 2/3; поскольку BM - медиана, BM/MC = 1; то есть BP/PA = 3/2; Отсюда BK/KN = 3/2 + 1 = 5/2; то есть BK = n*5/7; 2) В том случае, если теорема Чевы неизвестна, задача тоже легко решается. Если провести NQ II CB; точка Q лежит на AM, то из подобия треугольников ANQ и ACM следует NQ/CM = 2/5; треугольники QKN и MKB тоже подобны, и MB = CM; отсюда NK/BK = NQ/MB = 2/5; то есть BK = n*5/7; ( а NK = n*2/7, само собой)
Ясно, что площадь ABC равна удвоенной площади AMB, то есть равна S = BK*AM = m*n*5/7;
Так как по условию, точки М, К, Р середины отрезков АВ, ВД, ВС, то отрезок КМ средняя линия треугольника АВД, КР – средняя линия треугольника ВСД, МР – средняя линия треугольника АВС.
Отрезки средних линий параллельны основаниям треугольников: MK || АД, КР || СД, МР || АС, тогда и плоскость МКР параллельны плоскости АСД, что и требовалось доказать.
Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной стороны, тогда треугольник МКР подобен треугольнику АСД по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия К = АД / МК = АД / (АД / 2) = 2.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Sавс / Sмкр = 48 / Sмкр = 22.
Sмкр = 48 / 4 = 12 см2.
ответ: Площадь треугольника МКР равна 12 см2.
1) Если предположить, что автор знаком с теоремой Чевы, а так же - с теоремой Ван-Обеля, то
если продолжить CK до пересечения с AB в точке P, то AP/PB = AN/NC = 2/3; поскольку BM - медиана, BM/MC = 1;
то есть BP/PA = 3/2;
Отсюда BK/KN = 3/2 + 1 = 5/2; то есть BK = n*5/7;
2) В том случае, если теорема Чевы неизвестна, задача тоже легко решается.
Если провести NQ II CB; точка Q лежит на AM, то из подобия треугольников ANQ и ACM следует NQ/CM = 2/5;
треугольники QKN и MKB тоже подобны, и MB = CM; отсюда NK/BK = NQ/MB = 2/5;
то есть BK = n*5/7; ( а NK = n*2/7, само собой)
Ясно, что площадь ABC равна удвоенной площади AMB, то есть равна
S = BK*AM = m*n*5/7;